Matematické Fórum

archipatelin · 25. 07. 2011 10:50

Jak vypadá obecná realná funkce jedné reálné proměnné $\varphi: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$ splňující rovnici:
$\varphi(u)\varphi(v)(1+kuv)=\varphi(\frac{u+v}{1+kuv})$ ,
kde $k$ je libovolná reálná konstanta?

Našel jsem dvě speciální řešeni. Jedno za předpokladu, že $\varphi$ je sudá funkce:
$\varphi^{-2}(v)=1-kv^2$
a druhe pro $k=0$ :
$\varphi(v)=e^{\varkappa{}v}$ , kde $\varkappa$ je libovolná reálná konstanta.

Ale tyto řešeni nejsou totožná (pro nulové $k$ ), tak ani jedno z nich nemůže být obecné!

Jak najít obecné řešení?

Děkuji za pomoc.

archipatelin · 25. 07. 2011 11:25

Doplňující dotaz.

Je exponenciální funkce $\varphi(v)=e^{\varkappa{}v}$ jediná (tj. nejobecnější) funkce splňující identitu:
$\varphi(u)\varphi(v)=\varphi(u+v)$
(vynechme triviální připad $\varphi(v)=0$ ) ?

archipatelin · 25. 07. 2011 11:46

Právě se mi podařilo najít toto řešení:
$\varphi(v)=\sinh(\varkappa{}v)+\sqrt{\sinh^2(\varkappa{}v)+\frac{1}{1-kv^2}}$ ,
ale navim jak dokázat, že se jedná o řešení obecne!

check_drummer · 25. 07. 2011 21:08

↑ archipatelin:
Možná by se to dalo dokázat postupem, kterým jsi na toto řešení přišel.

check_drummer · 25. 07. 2011 21:14

↑ archipatelin:
Zapsal bych si vztahy pro $\varphi$ . Např. je buď $\varphi = 0$ nebo je $\varphi(0)=1$ a $\varphi(u).\varphi(-u)=\frac{1}{1-k.u^2}$ (z toho jsi asi odvodil vztah pro sudou $\varphi$ ).
Jak jsi prosím odvodil poslední vztah (se sinh)?

archipatelin · 25. 07. 2011 22:38

check_drummer napsal(a):
Jak jsi prosím odvodil poslední vztah (se sinh)?

Rozdělil jsem $\varphi$ na součet její sudé a liché části:
$\varphi(v)=\Psi(v)+\Omega(v)$
$\Psi(v)\equiv\frac{1}{2}(\varphi(v)+\varphi(-v))$
$\Omega(v)\equiv\frac{1}{2}(\varphi(v)-\varphi(-v))$
Pro speciální připad $u=-v$ plati:
$\varphi(v)\varphi(-v)=\Psi^2(v)-\Omega^2(v)=\frac{1}{1-kv^2}$ ,
tak $\varphi(v)=\Psi(v)+\Omega(v)=\Omega(v)+\sqrt{\Omega^2(v)+\frac{1}{1-kv^2}}$ .
Pro $k=0$ ze znalosti speciálního řešení $\varphi(v)=e^{\varkappa{}v}=\Omega(v)+\sqrt{1+\Omega^2(v)}$
plyne $\Omega(v)=\sinh(\varkappa{}v)$ .
Pak stačí jen ověřit (pracně), že vztah splňuje rovnici pro obecné $u$ .r

check_drummer · 26. 07. 2011 18:16

↑ archipatelin:
Proč nemůže být před odmocninou znaménko mínus?
I kdybychom ověřili, že uvedený vztah splňuje výše uvedenou rovnici, dle mého to ještě neznamená, že žádná jiná funkce uvedenou rovnost splňovat nemůže.

(Myslím, že si úloha zaslouží přesunutí do Zajímavých úloh z VŠ.)

archipatelin · 26. 07. 2011 18:47

check_drummer napsal(a):
Proč nemůže být před odmocninou znaménko mínus?

Obor hodnot hledané funkce je $\mathbb{R}^{+}$ ,což znaménko mínus před odmocninou nesplňuje (a vlastně ani triviální připad $\varphi(v)\equiv{}0$ ).

Nalezené řešení platí pro všechna $u$ to jsem dokázal.Ale zda je to řešení obecné, to je ta má otázka z níž si nevím rady.

S tím souvisí jestli se dá nějak dokázat,že exponenciála je jedinou funkcí splňující identitu:
$\varphi(u)\varphi(v)=\varphi(u+v);\:\:\forall{}u,v\in\mathbb{R}$
?

Stýv · 26. 07. 2011 19:40

archipatelin napsal(a):
Doplňující dotaz.

Je exponenciální funkce $\varphi(v)=e^{\varkappa{}v}$ jediná (tj. nejobecnější) funkce splňující identitu:
$\varphi(u)\varphi(v)=\varphi(u+v)$
(vynechme triviální připad $\varphi(v)=0$ ) ?

myslim, že ne, že by šlo třeba volit jinou konstantu $\varkappa$ pro $v\in\mathbb Q$ a jinou pro $v\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$

check_drummer · 26. 07. 2011 20:00

↑ Stýv:
To asi nepůjde (jestli jsem pochopil tvou myšlenku správně), protože součet dvou iracinálních čísel není vždy iracionální.

check_drummer · 26. 07. 2011 20:07

↑ archipatelin:
Má-li však být $\varphi$ opravdu definována pro všechna u z $\mathbb{R}$ , pak tvá funkce není definována pro $u=\frac{1}{\sqrt{k}}$ .

Stýv · 26. 07. 2011 20:19

↑ check_drummer: pravda, tak jednoduchý to nebude, nicméně když si zvolim třeba f(1)=e, pak z toho plyne f(x)=exp(x) pro racionální x, ale pro iracionální x ne (imho). tudíž si můžu zvolit třeba f(pi)=exp(pi/2) a z toho odvodit f(p*pi+q) pro p,q racionální atd... nebo to někde selže? ruku do ohně bych za to, pravda, nedal:)

check_drummer · 26. 07. 2011 21:37

↑ Stýv:
Takhle na první pohled by to mohlo fungovat (ale taky bych si teď nechtěl hrát s ohněm :-). Po "vyřízení" pi bys tedy asi přidal nějaké další iracinální číslo x, pro které f ještě není definovaná, a definoval hodnoty f(p*pi+r*x+r) pro p,q,r racionální? Akorát nevím, jestli by pro takovou definici bylo možné použít indukci - tj. nechť je pro n iracionálních čísel (a jejich kombinace) f již definována... tady by n nebylo přirozené a tudíž by asi šlo o nějakou transfinitní indukci... A pak bychom přidali n+1-ní...

OT: Nevím, přiznám se, že jsem si otevřel slivovici a není vůbec dobrá. :-) Snad jsem neporušil nějaká pravidla fóra. (Návštěvník má být střízliv, řádně upraven a oholen.)

archipatelin

↑ check_drummer:, ↑ Stýv:
Hoši, přesně nevím co tím postupným dodefinováním zamýšlíte, ale možná vás bude zajímat, že za předpokladu spojitosti funkce $\varphi(x)$ .
Je $e^{kx}$ jediná funkce splňující identitu
$\varphi(x)\varphi(y)=\varphi(x+y)\:\:\:\forall{}x,y\in\mathbb{R}$ .
Požadavek $\varphi(1)=e$ pak definuje exponenciálu jednoznačně.

Je to jeden ze způsobů jak definovat exponenciální funkci.
viz Hewitt and Stromberg, 1965

Stýv · 27. 07. 2011 00:43

↑ archipatelin: za předpokladu spojitosti je to jednoduchý. bez něj je to zajímavější;)

archipatelin · 27. 07. 2011 09:26

↑ Stýv:
Zapoměl jsem zmínit předpoklad, že funkce $\varphi$ je spojítá, resp. spojitá až na konečný počet bodů.

Na té wiki píší, že je-li funkce s touto vlastností spojitá někde pak je spojitá všude. Proto příkladem jiné funkce než exponenciály, která by splňovala "exponenciální" identitu musí být funkce která není nikde spojitá.

check_drummer · 27. 07. 2011 20:02

↑ archipatelin:
A jak je to s jejím definičním oborem? Má být definována pro všechna reálná čísla či nikoli?
U zápisů jako $\varphi: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$ si nikdy nejsem jist, zda je tím automaticky dán i definiční obor nebo jen jeho "nadmnožina".

Stýv · 27. 07. 2011 20:15

↑ check_drummer: takhe napsaný je vlevo def. obor a vpravo nadmnožina oboru hodnot

archipatelin · 28. 07. 2011 08:11

↑ :Souhlasím, že tento zápis označuje za definiční obor celou množinu reálných čísel.
Ja však měl na mysli definiční obor jako nějakou podmnožinu $\mathbb{R}$ .

Omluvám se za tuto nejasnost.

check_drummer · 29. 07. 2011 09:35

↑ archipatelin:
Pak je otázka pro jaká u,v má být splněn tvůj vztah: pro všechna reálná, pro která není zlomek =0 a nebo pro všechna, kde všechny výrazy v argumentu hledané funkce jsou z jejího definičního oboru. Pokud jde o druhý případ, pak např. vyhovuje i funkce s prázdným definičním oborem nebo nějaké speciální podmnožiny R, apod.

Matematické Fórum

#1 25. 07. 2011 10:50

Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#2 25. 07. 2011 11:25

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#3 25. 07. 2011 11:46

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#4 25. 07. 2011 21:08

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#5 25. 07. 2011 21:14

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#6 25. 07. 2011 22:38

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

check_drummer napsal(a):

#7 26. 07. 2011 18:16

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#8 26. 07. 2011 18:47

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

check_drummer napsal(a):

#9 26. 07. 2011 19:40

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

archipatelin napsal(a):

#10 26. 07. 2011 20:00

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#11 26. 07. 2011 20:07

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#12 26. 07. 2011 20:19

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#13 26. 07. 2011 21:37

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#14 26. 07. 2011 23:36 — Editoval archipatelin (26. 07. 2011 23:40)

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#15 27. 07. 2011 00:43

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#16 27. 07. 2011 09:26

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#17 27. 07. 2011 20:02

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#18 27. 07. 2011 20:15

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#19 28. 07. 2011 08:11

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

#20 29. 07. 2011 09:35

Re: Nalezení obecné reálné funkce splňující předepsanou rovnici

Zápatí