Matematické Fórum

simonaj1

Ahoj, potřebovala bych trošku popostrčit,mám spočítat strany trojúhelníku:
Pravoúhlý trojúhelník o stranách a, b, c je dáno a + b + c = 12, S = 6
jediné co jsem dala dohromady je, že a *b=12 a standardně platí, že c^2 = a^2 + b^2

pepa999

a + b + c = 12
a*b = 12
c^2 = a^2 + b^2

Ahoj, Můžeš to udělat například tak, že si vyjádříš z té druhé rovnice
b = 12/a
a ze třetí si vyjádříš
c = sqrt(a^2+b^2)
a dosadíš to do první rovnice za b a za c:
a + 12/a + sqrt(a^2+b^2) = 12
potom opět z rovnice b = 12/a dosadíš za b:
a + 12/a + sqrt(a^2+(12/a)^2) = 12
a vypočítáš to.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%2B12/a%2Bsqrt(a^2%2B(12/a)^2)%3D12

kořeny této rovnice jsou 3 a 4, což splňuje zadání, ale nevím,jestli to lze pomocí středoškolské
matematiky nějak efektivně vyřešit. Asi jsem zvolil špatnej postup.

simonaj1 · 28. 07. 2011 21:56

↑ pepa999: jj, tohle přesně jsem dělala, ale mladá to s tím co umí nedá:-(

BakyX · 28. 07. 2011 22:03

↑ simonaj1:

Ahoj...

Dá sa to trikovo vyriešiť :)

$a+b+c=12$
$a^2+b^2=c^2$
$ab=12$

Prvú rovnicu umocníme na druhú:

$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=144$

Toto pekne upravíš pomocou druhej a tretej rovnice:

$c^2+c^2+24+2c(a+b)=144$

Z prvej rovnice opäť vyjadríš $a+b=12-c$ . Dostaneš:

$2c^2+24+2c(12-c)=144$

Stačí takto ?

((:-)) · 28. 07. 2011 22:07 — Editoval ((:-)) (28. 07. 2011 22:08)

↑ simonaj1:

Ide o klasický pravouhlý trojuholník so stranami 3,4,5.

Akonáhle sú úlohy s pravouhlými trojuholníkmi, oplatí sa pozrieť, či to náhodou nie je presne o tomto trojuholníku, alebo podobnom, najčastejšie 6,8,10.

Známy a v úlohách používaný je aj trojuholník 5,12,13.

BakyX · 28. 07. 2011 22:11

↑ ((:-)):

Ak nejaký taký nájdeš, neznamená to, že je to jediné riešenie úlohy ale :)

simonaj1

↑ BakyX:
myslím, že jsem to zvládla ještě jednodušeji:
z první rovnice vyjádřím $c=a+b-12$ a dosadím do
$a^2+b^2=(a+b-12)(a+b-12)$
$a^2+b^2=a^2+2ab-24a+b^2-24b+144$
dosadím z druhé rovnice z a $a=\frac{12}{b}$ nakonec dostanu krásnou kvadratickou rovnici $-24b^2+168b-288=0$ s kořeny 3 a 4

BakyX · 28. 07. 2011 22:14

↑ simonaj1:

:)

Môžme polemizovať o tom, ktorý postup je krajší. Z môjho máš lineárnu rovnicu z ktorej hneď $c=5$ :):)

Tvoj postup je tiež pekný :) To je tá krása matematiky...Keď sa všetko nepekné z rovníc samo poodstraňuje ;)

Matematické Fórum

#1 28. 07. 2011 21:30 — Editoval simonaj1 (28. 07. 2011 21:31)

pravoúhlý trojúhelník

#2 28. 07. 2011 21:41 — Editoval pepa999 (28. 07. 2011 21:51)

Re: pravoúhlý trojúhelník

#3 28. 07. 2011 21:56

Re: pravoúhlý trojúhelník

#4 28. 07. 2011 22:03

Re: pravoúhlý trojúhelník

#5 28. 07. 2011 22:07 — Editoval ((:-)) (28. 07. 2011 22:08)

Re: pravoúhlý trojúhelník

#6 28. 07. 2011 22:11

Re: pravoúhlý trojúhelník

#7 28. 07. 2011 22:11 — Editoval simonaj1 (28. 07. 2011 22:12)

Re: pravoúhlý trojúhelník

#8 28. 07. 2011 22:14

Re: pravoúhlý trojúhelník

Zápatí