Matematické Fórum

miso16211

Dá sa kvadratická rovnica v tvare x^2+px+q=0 prepísať na rovnicu v sučinovom tvare bez toho aby sme počítali korene?
Lebo ked chcem počítať pomocou vietovych vzorcov tak mi vyjde tá ista rovnica.

Cheop · 29. 07. 2011 11:40

↑ miso16211:
$x^2+px+q=0\\\left(x+\frac{p+\sqrt{p^2-4q}}{2}\right)\left(x+\frac{p-\sqrt{p^2-4q}}{2}\right)=0$

Rumburak

↑ miso16211:
Rozložit polynom $x^2 + px + q$ na součin $(x-r)(x-s)$ tak, aby rovnost $x^2 + px + q = (x-r)(x-s)$ byla splněna
pro alespoň tři různé hodnoty x (což už stačí k tomu, aby byla splněna i pro libovolné další komplexní x), lze právě tehdy, když $r, s$ jsou
všechny kořeny rovnice $x^2 + px + q =0$ , takže takovým rozkladem dostáváme kořeny vždy, ať chceme nebo nechceme.

Avšak soustavu rovnic pro $r, s$ danou Vietovými vrorci lze v jednoduchých případech vyřešit zpaměti. Např. pro $p=5,\, q =6$ máme

$x^2 + 5x + 6 = x^2 + (2 +3)x + 2\cdot 3= (x +2)(x+3)$ ,

což napasujeme na Vietovy vzorce následovně:

$x^2 + 5x + 6 = x^2 + (2 +3)x + 2\cdot 3= x^2 - ((-2) +(-3))x + (-2)(-3) = (x -(-2))(x-(-3))$ ,

při tom $(-2) + (-3) = -5 = -p$ , $(-2)(-3) = 6 = q$ .