#1 31. 07. 2011 23:59
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Těžiště trojúhelníku netradičně
Nejdřív potřebný úvod:
Uvažme homogenní drát vytvarovaný do "trojúhelníku" ABC. Na tento drát je natažená nekonečně tenká a lehká, ale velmi odolná blána. Těžištěm tohoto drátu bude místo na bláně, kde bychom museli útvar podepřít, aby by stabilní. Uvědomíme-li si, že blána nic neváží, tak veškerá hmotnost připadne na drát, tedy na obvod trojúhelníku ABC. Proto tíhové síly působící na útvar budou působit jen na obvod trojúhelníku. Těžiště obvodu trojúhelníku bude tedy místo stejné, jako místo, kde jsme podepřeli blánu, aby "trojúhelník" nespadl. (ty uvozovky proto, že standartním pojmem trojúhelník se myslí i ten vnitřek). Nejprve doporučuju si uvědomit, že toto nové těžiště se liší od těžiště standartního.
A teď úloha: Je dán trojúhelník ABC. Dokažte, že těžiště obvodu trojúhelníku, standartní těžiště a střed kružnice vepsané je trojice kolineárních bodů.
A dám sem několik hintů, ale zkuste to vyřešit bez nich.
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#2 02. 08. 2011 01:16 — Editoval FliegenderZirkus (02. 08. 2011 01:32)
- FliegenderZirkus
- Příspěvky: 544
- Škola: RWTH Aachen
- Reputace: 25
Re: Těžiště trojúhelníku netradičně
, těžiště obvodu 
a střed vepsané kružnice 
, platí![$T=\[ \frac{x_B+x_C}{3}, \frac{y_C}{3} \]$](/mathtex/5f/5fe943d355028c23eb471283e9970f78.gif "kopírovat do textarea")
![$T_o=\[ \frac{1}{2}\frac{(x_B+x_C)\sqrt{(x_B-x_C)^2+y_C^2}+x_C\sqrt{x_C^2+y_C^2}+x_B^2}{\sqrt{(x_B-x_C)^2+y_C^2}+\sqrt{x_C^2+y_C^2}+x_B}, \frac{1}{2}\frac{y_C\sqrt{(x_B-x_C)^2+y_C^2}+y_C\sqrt{x_C^2+y_C^2}}{\sqrt{(x_B-x_C)^2+y_C^2}+\sqrt{x_C^2+y_C^2}+x_B} \]$](/mathtex/e0/e00849036e1bdb85598d3273f2c52fa4.gif "kopírovat do textarea")
![$S=\[ \frac{x_B \sqrt{x_C^2+y_C^2}+x_C x_B}{\sqrt{(x_B-x_C)^2+y_C^2}+\sqrt{x_C^2+y_C^2}+x_B}, \frac{y_C x_B}{\sqrt{(x_B-x_C)^2+y_C^2}+\sqrt{x_C^2+y_C^2}+x_B} \]$](/mathtex/e1/e1322755456c50628728c3ecd8828e68.gif "kopírovat do textarea")
Offline
#3 02. 08. 2011 07:58
Re: Těžiště trojúhelníku netradičně
↑ FliegenderZirkus: Pekne ďakujem aj ja, a myslím, že driny bude čoraz viac, kde sú tie pekné časy pytagorejcov....dôkazy sa maľovali do piesku a boli tak presvedčivo jasné.
Offline
#4 02. 08. 2011 14:22
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: Těžiště trojúhelníku netradičně
↑ pietro: Nikdy bych sem nedal úlohu, u níž bych neznal důkaz pomocí syntetické geometrie (a pokud je tam i analytická geometrie, tak jen v co nejmenší míře - v této úloze jsem analytiku nepoužil vůbec). Ještě se snažte, určitě někdo najde elegantnější řešení (-;
Jinak já osobně moc dobrý v analytické geometrii nejsem, protože už jsem vyrostl ze věku, kdy mě bavila algebra, řešení rovnic apod. Je to rutina - mnohdy i nudná, a často je řešení (obecně zadané úlohy) v tak strašidelném tvaru, že člověku vůbec nic neříká. A matematika je napůl o dobrém systému a napůl o nápadech. Úprava algebraických výrazů je často velmi nudná práce. Nechci to ale zlehčovat - třeba algebraické nerovnosti jsou těžké a k jejich zdolání zdaleka nestačí jenom upravovat algebraické výrazy (musíme je chytře upravovat a navíc znat spoustu obecně platných tvrzení - AG nerovnost, CS nerovnost, Jensenovu a Čebyševovu nerovnost atd.)
Takže pozvedněte svá pravítka a kružítka a dejte se do boje! (-:
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#5 02. 08. 2011 14:25 — Editoval BakyX (02. 08. 2011 16:00)
Re: Těžiště trojúhelníku netradičně
↑ Anonymystik:
Mohol by si prosím to ťažisko obvodu definovať čisto geometricky ? :)
1^6 - 2^6 + 3^6 = 666
Offline
#6 02. 08. 2011 21:39
#7 02. 08. 2011 22:32
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: Těžiště trojúhelníku netradičně
↑ Kondr: A point úlohy je v pr... Ale přišel jsem na to sám, tak jsem myslel, že to bude originální úloha. A zase zjišťuju, že už to je okoukané téma. Na matematice (a geometrii obzvlášť) se mi líbí, jak umí vždycky něčím novým překvapit (aspoň mě). Ale vy už jste moc high level, tak se mi asi nepodaří vás něčím novým překvapit.
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline