Matematické Fórum

dedina · 05. 06. 2008 08:47

v goniometrické posloupnosti je a1=2,a4=16,určete člen a11,prosím o vysvětlení do kt.vzorce to mám dosadit a proč,předem moc děkuji

Cheop · 05. 06. 2008 09:15 — Editoval Cheop (05. 06. 2008 09:18)

Abychom mohli vypočítat člen a11 pořebujeme zjistit kvocient q

Pro n-tý člen posloupnosti an platí vztah:

an = a1*q^(n-1)

Slovně: n-tý člen je první člen krát kvocient na (n-1)
Známe čllen a4 a člen a1
a4 = a1*q^3

16 = 2*q^3

q^3 = 8

q = 2

Teď už můžeme vypočítat a11
a11 = a1*q^10
a11 = 2*2^10
a11 = 2^11

a11 = 2048

Předpokládám, že se jedná o geometrickou posloupnost a ne o goniometrickou (takovou neznám)

dedina · 05. 06. 2008 09:29

ano geometrickou,díky rozumím.

dedina · 17. 06. 2008 00:57

↑ Cheop:
a když mám a4=5,a7=40,a10=? nebo a3=3,a6=-24,a13=? budu to řešit stejně?

Cheop · 17. 06. 2008 07:21 — Editoval Cheop (17. 06. 2008 11:07)

V zadání musí být zda se jedná o aritmetickou posloupnost nebo o geometrickou posloupnost.
Kdybychom vzali:
$a_4=5\nla_7=40\nla_{10}=?$ jako aritmetickou posloupnost pak by platilo:
Obecně:
V aritmetické posloupnosti jednotlivé členy této posloupnosti rostou o určitou diferenci d.
Každý následující člen aritmetické posloupnosti je o diferenci d větší nebo menší než člen předcházející (podle toho zda diference d>0 nebo d<0) V našem příkladu:
$a_4=5\nla_5=a_4+d\nla_6=a_5+d=a_4+2d\nla_7=a_4+3d$
$40=5+3d\nl3d=35\nld=\frac{35}{3}\nla_{10}=a_4+6d\nla_{10}=5+\frac{35}{3}\cdot 6\nla_{10}=75$
Protože diference d není celé číslo, pak bych tipoval, že bychom to měli počítat jako geometrickou posloupnost.
U geometrické posloupnosti je každý následující člen násobkem předcházejícího o tzv. kvocient q
přičemž když je q>0 pak řada roste (náš případ) pokud je q<0 pak u řada klesá nebose střídají u členů řady znaménka
Pro geometrickou posloupnost platí:
$a_{n+i}=a_{n}\cdot q^{n+i}$
$a_4=5\nla_5=a_4\cdot q\nla_7=a_4\cdot q^{3}$
$40=5\cdot q^{3}\nlq^{3}=8\nlq=\sqrt[3]8\nlq=2$
$a_{10}=a_4\cdot q^{6}\nla_{10}=5\cdot 2^{6}\nla_{10}=5\cdot 64=320$
U druhého příkladu se bude jednat o geometrickou posloupnost s kvocientem $q=-2$
$a_6=a_3\cdot q^{3}\nl-24=3\cdot q^{3}\nlq=-2$
$a_{13}=a_3\cdot q^{10}\nla_{13}=3\cdot \left((-2)^{10}\right)\nla_{13}=3072$

Cheop · 17. 06. 2008 09:03

Ještě ke kvocientu q geometrické řady:
Pokud je kvocient v intervalu $q\in(0;1)$ pak řada klesá
Pokud je kvocient v intervalu $q\in(1;\infty)$ pak řada roste
Pokud je kvocient v intervalu $q\in(-\infty;-1)$ pak se u řady střídají znaménka $\pm$

dedina · 17. 06. 2008 12:14

super díky, díky za vysvětlení,už to chápu,byla to geom.

Cheop · 17. 06. 2008 12:50

↑ dedina:
Takový malý příklad na geometrickou posloupnost:
Zadání
Přičteme-li k číslům 2, 7 a 17 totéž číslo dostaneme první tři členy geometrické posloupnosti.
Určete toto číslo a geometrickou posloupnost vyjádřete vzorcem pro n-tý člen.

dedina · 17. 06. 2008 13:08

určime si a1=2+x,a2=7+x,a3=17+x,dosadíme do vzorce an+1/n=q,ale nevím jak co je n?

Cheop · 17. 06. 2008 13:25

Musí platit: (na obou stranách rovnice vyjadřujeme kvocient q)
$\frac{7+x}{2+x}=\frac{17+x}{7+x}$
Vyřešíš rovnici a získáš první tři členy posloupnosti
a pak už jen dosadíš do vzorce
$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

dedina · 17. 06. 2008 13:41

a1=5,a2=10,a3=20,q=3,an=5.3ˇn-1

Cheop · 17. 06. 2008 13:58 — Editoval Cheop (17. 06. 2008 14:25)

↑ dedina:
Opravdu myslíš, že 10/5 =3 nebo 20/10 = 3 ? (Možná je to u tebe jen překlep)
q = 2 a pak $a_n=5\cdot 2^{n-1}$
Mimochodem neodpověděl jsi na otázku, které číslo je potřeba k číslům 2,7,17 přičíst , protože to je právě číslo 3 (což ale není q)
To q určíš ze vztahu:
$q=\frac{a_n_+_1}{a_n}$
$q=\frac{a_3}{a_2}\nlq=\frac{20}{10}\nlq=2$

Matematické Fórum

#1 05. 06. 2008 08:47

gon.posloupnost

#2 05. 06. 2008 09:15 — Editoval Cheop (05. 06. 2008 09:18)

Re: gon.posloupnost

#3 05. 06. 2008 09:29

Re: gon.posloupnost

#4 17. 06. 2008 00:57

Re: gon.posloupnost

#5 17. 06. 2008 07:21 — Editoval Cheop (17. 06. 2008 11:07)

Re: gon.posloupnost

#6 17. 06. 2008 09:03

Re: gon.posloupnost

#7 17. 06. 2008 12:14

Re: gon.posloupnost

#8 17. 06. 2008 12:50

Re: gon.posloupnost

#9 17. 06. 2008 13:08

Re: gon.posloupnost

#10 17. 06. 2008 13:25

Re: gon.posloupnost

#11 17. 06. 2008 13:41

Re: gon.posloupnost

#12 17. 06. 2008 13:58 — Editoval Cheop (17. 06. 2008 14:25)

Re: gon.posloupnost

Zápatí