Matematické Fórum

Harmony66 · 08. 08. 2011 19:09

Nejde mi spočítat hodnost, poprosil bych i o postup.
Děkuji

1 0 1 2
2 1 0 3
3 0 1 4
4 1 0 5

((:-)) · 08. 08. 2011 19:18

↑ Harmony66:

Ahoj - ako že Ti nejde vyrátať hodnosť?

Vyšla mi 3.

Harmony66 · 08. 08. 2011 19:20

↑ ((:-)):

A jak si k tomu došla ? :-)

((:-)) · 08. 08. 2011 19:25

↑ Harmony66:

Môžem to sem hodiť - chvíľu by to ale trvalo. Okrem toho nechápem, aký máš problém...

Harmony66 · 08. 08. 2011 19:27

↑ ((:-)):

To že jsem matice neviděl 5 let a nejsem schopen to vysvětlit dál :-)

Budu ti vděčný.

((:-)) · 08. 08. 2011 19:41 — Editoval ((:-)) (08. 08. 2011 19:56)

↑ Harmony66:

Úprava matíc je ako úprava sústav rovníc pri eliminačnej metóde.

Tam sa snažíš postupne vylúčiť jednotlivé neznáme a na to vhodne násobíš a sčituješ jednotlivé rovnice tak, aby neznáme postupne vypadli.

Niekedy sa môže stať, že v sústave rovníc sú také, ktoré majú úplne zhodné riešenie, jedna je násobkom druhej.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & 0 & 5\end{pmatrix}$

Chceš upraviť túto maticu na trojuholníkový tvar, t.j. aby pod uhlopriečkou (zľava doprava) boli samé 0.

K tomu využiješ násobenie prvého riadku vhodným číslom a pripočítanie riadku, v ktorom chceš mať na 1. mieste 0.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & 0 & 5\end{pmatrix}$ $\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & -3\end{pmatrix}$

Prvý riadok sa najprv násobil číslom -3 a zrátal s druhým riadkom, aby na prvom mieste druhého riadku bola 0.
Podobne sa upravovali ďalšie riadky, napríklad tretí: prvý riadok krát -2 + tretí riadok.

Druhý riadok s dvoma nulami na začiatku prehoď na koniec (pod diagonálou majú byť 0) a odrátaj od druhého riadku tretí.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & -3\\ 0 & 0 & -2 & -2\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & -2 & -2\end{pmatrix}$

Teraz vidno, že štvrtý riadok je násobkom tretieho riadku, dokonca keď sa oba riadky sčítajú, v poslednom riadku budú samé 0.

Znamená to, že v matici sú presne tri riadky tzv. lineárne nezávislé, takže hodnosť matice je 3. (Je to počet nenulových riadkov po úprave na trojuholníkovú maticu.)