Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 08. 2011 01:18

NewRose
Zelenáč
Příspěvky: 9
Reputace:   
 

Průnik prostorů

Dobrý den,

studuji Olšákův Úvod do algebry, zejména a lineární a ve větě 1.22 je psáno, že průnik dvou lineární podprostorů N a M lin. prostoru L je také lineární podprostor. Na vyzkoušení je tam uveden příklad 1.21. Vyzkoušel jsem však kombinaci příkladů 1.20 a 1.21 a nedobral jsem se k tomuto závěru.

Konkrétně: M={(a,a,a); a € R) je lineární podprostor prostoru R3. N={(x,y,z); x+2y=0} je též lineární podprostor prostoru R3. Pokud však zvolím vektor v=(a,a,a), v prostoru N tento prvek není platný (očividně), pokud se nejedná o nulový vektor. Prosím o vysvětlění tohoto průniku lin. prostorů a co se při tom děje.

Děkuji.

Offline

 

#2 09. 08. 2011 03:30

Oxyd
Příspěvky: 614
Škola: MFF UK, teoretická informatika
Pozice: Student
Reputace:   31 
 

Re: Průnik prostorů

Možná si pleteš průnik se sjednocením. V průniku jsou právě ty vektory, které patří do obou podprostorů zároveň. Jak jsi správně podotkl, bude průnik triviální podprostor $M \cap N = \{\vec{0}\}$.


Mýlím se častěji, než bych chtěl. Pokud vám v mém příspěvku něco nehraje, neváhejte se zeptat.
Jsem stále mlád a je mi příjemnější tykání. :)

Offline

 

#3 09. 08. 2011 10:13

NewRose
Zelenáč
Příspěvky: 9
Reputace:   
 

Re: Průnik prostorů

↑ Oxyd:
Tzn. že průnik $M \cap N$ musí splňovat podmínky obou -> ${(x, y, z); x = y = z; x = 2y}$ ?
Je těžké představit si sloučení těhle podmínek...
Takže průnikem bude jen a pouze triviální prostor?

Offline

 

#4 09. 08. 2011 10:29

xxMari
Příspěvky: 30
Reputace:   
 

Re: Průnik prostorů

ano, $\vec{0}=(0,0,0)$ , pretoze z podmienky $x=y=z$ dostavame $x=2x$, co plati len pre $x=0$ a teda $x=y=z=0$

Offline

 

#5 09. 08. 2011 10:34

NewRose
Zelenáč
Příspěvky: 9
Reputace:   
 

Re: Průnik prostorů

Ještě jedna otázka:

lineární podprostor musí přejímat operace násobení a sčítání ze svého nadprostoru, nebo může mít definované vlastní a pořád být podprostorem?
Uvažuji prostor všech kladných reálných čísel R+ s operacemi sčítaní x+y=abs(x+y) a násobení c*x=abs(c*x). Je takto definovaný prostor podprostorem všech reálných čísel? Nebo aby byl, musely by být operace jako podmínky, tzn R+ = {(x,y); x+y=abs(x+y) a c*x=(abs(c*x)}?

S pozdravem
NewRose

Offline

 

#6 09. 08. 2011 12:03

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5690
Reputace:   215 
Web
 

Re: Průnik prostorů

↑ NewRose: aby to byl podprostor, musí mít stejné operace. R+ není vektorovým prostorem nad tělesem R

Offline

 

#7 09. 08. 2011 13:03

NewRose
Zelenáč
Příspěvky: 9
Reputace:   
 

Re: Průnik prostorů

↑ Stýv: R+ není lineárním prostorem vůbec? Při kontrole podmínek vše vycházelo...

Offline

 

#8 09. 08. 2011 13:45

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5690
Reputace:   215 
Web
 

Re: Průnik prostorů

↑ NewRose: například tam chybí opačný prvky pro nenulový vektory

Offline

 

#9 09. 08. 2011 14:21

NewRose
Zelenáč
Příspěvky: 9
Reputace:   
 

Re: Průnik prostorů

↑ Stýv: Jo, toho jsem si taky všimnul... ale fakt, že v podmínkách v Olšákovi o existenci opačného prvku k jakémukoli prvku není podmínka pro lineární prostor, mě usvědčil k tvrzení že R+ je lineární prostor. Taky jsem se divil, ale dobrý... aspoň už je to jasný.

Offline

 

#10 09. 08. 2011 14:38

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5690
Reputace:   215 
Web
 

Re: Průnik prostorů

↑ NewRose: pokud tam není explicitně uvedená, tak bude vyplývat z ostatních

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson