Matematické Fórum

kacka18 · 10. 08. 2011 11:26

Ahoj,

mám dotaz ohledně jednoho příkladu.
Mám pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV o straně a a výšce v.
Úkolem je vypočíst vzdálenost bodu A a středu VC.

Udělala jsem si obrázek, ale asi vybírám špatný trojúhelník, z kterého to pak počítat. Mám podezření, že ty, které jsem si vybrala nebyly pravoúhlé, pač výsledek byl jinak. Můžete mi prosím poradit z jakého trojúhelníku to počítat? Šprajcla jsem se.

Aquabellla · 10. 08. 2011 11:54

↑ kacka18:

Označme si střed VC třeba písmenem S. Pracujeme v trojúhelníku ACV.
AC je úhlopříčka ve čtverci ABCD, délka je jasná.
AV = CV ... a jejich délka lze dopočítat z trojúhelníku APV, kde P je pata tělesové výšky.
Jelikož znáš všechny strany v trojúhelníku ACV, můžeš dopočítat úhel AVC pomocí kosinové věty.
Teď z trojúhelníku ASV opět kosinovou větou vyjádříš délku AS.

PS: možná existuje jednoduší řešení, ale jiné mě momentálně nenapadá :-)

kacka18 · 10. 08. 2011 12:00

↑ Aquabellla:

Jo jasné, díky moc, už to tam vidím. Soustředila jsem se jen na pravoúhlé trojúhelníky.
Ještě jednou díky!

Hanis · 10. 08. 2011 12:27 — Editoval Hanis (10. 08. 2011 12:28)

Ještě dodám analytické řešení:
výhodně si umístíme jehlan do kartézské soustavy souřadnic:
$A=[0;0;0]$
$B=[a;0;0]$
$C=[a;a;0]$
$D=[0;a;0]$
$V=[\frac{a}{2};\frac{a}{2};v]$

Souřadnice bodu S, středu úsečky VC spočítáme jako $S=\frac{V+C}{2}$ :
$s_1=\frac{\frac{a}{2}+a}{2}=\frac{3a}{4}$
$s_2=\frac{\frac{a}{2}+a}{2}=\frac{3a}{4}$
$s_3=\frac{0+v}{2}=\frac{v}{2}$
$S=[\frac{3a}{4};\frac{3a}{4};\frac{v}{2}]$

A vzdálenost $|AS|$ spočteme jako velikost vektoru $S-A$ :
$S-A=(\frac{3a}{4}-0;\frac{3a}{4}-0;\frac{v}{2}-0]=[\frac{3a}{4};\frac{3a}{4};\frac{v}{2}]$
$|S-A|=\sqrt{(\frac{3a}{4})^2+(\frac{3a}{4})^2+(\frac{v}{2})^2}=\sqrt{\frac{9a^2+2v^2}{8}}$

Prosím o kontrolu, měsíc jsem nečuchl k pořádné matematice :-)

Aquabellla · 10. 08. 2011 12:37

↑ Hanis:

ano, výsledek mi vyšel stejně :-)

PS: My měli zakázáno u maturity příklady ze stereometrie počítat analyticky. I když někdy je to výhodnější, ale je dobré znát obě varianty :-)

Matematické Fórum

#1 10. 08. 2011 11:26

metrické úlohy

#2 10. 08. 2011 11:54

Re: metrické úlohy

#3 10. 08. 2011 12:00

Re: metrické úlohy

#4 10. 08. 2011 12:27 — Editoval Hanis (10. 08. 2011 12:28)

Re: metrické úlohy

#5 10. 08. 2011 12:37

Re: metrické úlohy

Zápatí