Matematické Fórum

komornik · 14. 08. 2011 15:00

Dobrý den tak jsem tu zas :( , mam určit obor konvergence a součtovou řadu funkce sum(x^n-x^n+1). Postoupoval jsem následovně řadu jsem si upravil na tvar (1-x)*x^n . Z toho jsem zjistil ,že x0=1 a potom 1*x^n dostanu 1 ,tak jsem si myslel ,že obor konvergence bude <0,2> ,ale poté jsem zjistil ,že po dosazení čísel z intervalu řada diverguje.A nevím kde mam chybu .Děkuji za rady.

Olin · 14. 08. 2011 16:07

Úprava na tvar $\sum (1-x)x^n$ je dobrý krok, ovšem nijak nevidím, jak z toho určit $x_0 = 1$ . Problém je asi hlavně v tom, že nejde o mocninnou řadu přesně podle její definice, tedy hovořit o středu a poloměru konvergence nemá úplně smysl. To až po úpravě na $(1-x) \sum x^n$ , která napoví o konvergenci více a taky se snadno sečte (musí se ovšem zvlášť ošetřit případ $x = 1$ ).

Jiným, v jistém smyslu elementárnějším postupem je všimnout si, že jde o teleskopickou řadu - její částečný součet je
$s_n = (x^0 - x^1) + (x^1 - x^2) + \dots + (x^n - x^{n+1}) = 1 - x^{n+1}$ ,

Matematické Fórum

#1 14. 08. 2011 15:00

Mocninná řada

#2 14. 08. 2011 16:07

Re: Mocninná řada

Zápatí