Matematické Fórum

Tomas.P

Zdravím.

Příklad 1:

Bod hmotnosti $m$ se pohybuje bez tření po nakloněné rovině, která na konci přechází ve válcovou plochu o poloměru $R$ . Z jaké výšky $h$ by musel klouzat, aby udělal ve válci celou obrátku a přitom nespadl, bude-li jeho počáteční rychlost $v_0$ . Výsledek $h=\frac{5gR-{v_0^2}}{2g}$ . Vím, že $E_k+E_p=\frac{1}{2}m{v^2}+mgh=konst.$ , $v=\sqrt{2gh}$

Příklad 2:

Na vrcholu absolutně hladké koule je hmotný bod v metastabilní poloze. Když ho nepatrně vychýlíme z této polohy, začne se pohybovat nejprve po povrchu koule, pak od koule odpadne. V jaké svislé vzdálenosti od vrcholu koule se tak stane? Poloměr koule je $R=1,5m$ . Výsledek $h=0,5m$ .

Příklad 3:

Střela o hmotnosti $0,002kg$ opouští ústí pušky rychlostí $300m{s^{-1}}$ . Vypočtěte délku hlavně, jestliže výslednice sil působících na střelu v hlavni je dána vztahem $F=400-{\frac{8000}{9}}x$ . Výsledek $l=0,45m$ . Vím, že ${m_1}{v_1}=-{m_2}{v_2}$

Příklad 4:

Na hladké podložce leží v klidu tenká tyč hmotnosti $M$ , na její konec narazí puk, který se před srážkou pohyboval kolmo na směr tyče. Po nárazu se puk zastavil. Určete hmotnost puku $m$ , je-li srážku možno považovat za dokonale pružnou. Výsledek $m=\frac{M}{4}$ . Vím, že $E_k+E_p=konst.$ , $L=r{\times}p$ a $M=rF=\frac{dL}{dt}$

pepano · 20. 08. 2011 14:06

1)
Aby se těleso udrželo na kruhové dráze, musí být odstředivá síla $F_o = \frac{mv^2}{R}$ alespoň rovna tíze tělesa (= m g). Rychlost v horním bodě dráhy musí tedy být alespoň
$\frac{mv^2}{R} = m g \Rightarrow v^2 = gR$
V nejvyšším bodě dráhy musí mít tedy kinetickou energii rovnu alespoň $E_k = \frac 12 m v^2 = \frac 12 m g R$ Tato energie je rovna energii, $E = \frac 12 m v_o^2 +m g (h-2R)$ , kterou mělo těleso po skluzu na nakloněné rovině. Tak dostaneme rovnici
$\frac 12 m g R = \frac 12 m v_o^2 +m g (h-2R)$ ,a z ní pak vyjádřením $h$ vámi uvedený výsledek
$h=\frac{5gR-{v_0^2}}{2g}$

pepano · 20. 08. 2011 14:39 — Editoval pepano (20. 08. 2011 14:39)

3) Kinetická energie střely je rovna práci, kterou vykonala síla působící na střelu v hlavni, takže dostaneme rovnici
$\int_0^l (400-{\frac{8000}{9}}x) \mathrm{d}x = \frac 12 m v^2$
Levou stranu integrujeme a dostaneme rovnici
$400 l -{\frac{8000}{9}}\cdot \frac 12 l^2 = \frac 12 m v^2$
Dosadíme hmotnost a rychlost střely
$400 l -{\frac{8000}{9}}\cdot \frac 12 l^2 = 90$
a vypočteme $l=0,45 \mathrm m$

jelena · 20. 08. 2011 21:31

↑ pepano:, ↑ pepano: děkuji.

↑ Tomas.P:

moc nerozumím Tvému lehce ignorantskému přístupu k dodržení pravidel - více úloh snižuje přehlednost tématu. Pro 2. úlohu jsem Tobě nakreslila obrázek - bude lepší, když si celou úlohy (i s obrázkem, pokud se hodí) dáš do samostatného tématu, ve kterém upřesníš, jak jsi chtěl v úloze použit toto tvrzení:

Vím, že $p_1+p_2+...p_n=p=konst$ ..

Děkuji.

OT: zpestřím dnešní lingvistickou nabídku :-)

Tomas.P · 21. 08. 2011 09:34

↑ pepano:
Díky.

pepano · 21. 08. 2011 13:41

↑ Tomas.P:

K tomu druhému příkladu nakreslila ↑ jelena: obrázek. Úloha se bude řešit obdobně jako ta prvá. Hmotný bod se pohybuje po kruhové dráze. Tíha bodu se rozloží na dvě složky, na složku normálovou a složku tečnou. Ta normálová se vypočte $m g \cos \alpha$ a v okamžiku, kdy se jí vyrovná odstředivá síla, hmotný bod se od koule odtrhne. Sestavíme tedy rovnici
$m g \cos \alpha = \frac{mv^2}{R}$
Z obrázku pplyne, že $\cos \alpha = \frac {R - h}{R}$ a dosadíme-li, dostaneme
$m g \frac {R - h}{R} = \frac{mv^2}{R}$ a dosadíme za $v=\sqrt{2gh}$
$m g \frac {R - h}{R} = \frac{m 2gh}{R}$ Z tohoto vztahu vyjádřit h snad již potíže činit nebude.

Matematické Fórum

#1 20. 08. 2011 10:18 — Editoval Tomas.P (21. 08. 2011 09:34)

Zákon zachování

#2 20. 08. 2011 14:06

Re: Zákon zachování

#3 20. 08. 2011 14:39 — Editoval pepano (20. 08. 2011 14:39)

Re: Zákon zachování

#4 20. 08. 2011 21:31

Re: Zákon zachování

#5 21. 08. 2011 09:34

Re: Zákon zachování

#6 21. 08. 2011 13:41

Re: Zákon zachování

Zápatí