Matematické Fórum

BakyX · 19. 08. 2011 20:54 — Editoval BakyX (19. 08. 2011 20:56)

Zdravím..Pri riešení jednej úlohy som narazil na takúto rovnicu:

$\frac{\sin(40^\circ).\sin(10)^\circ.\sin(x^\circ)}{\sin(70^\circ). \sin(20^\circ). \sin(40-x)^\circ}=1$

Na základe úlohy viem, že $x=30^\circ$ a chcem vedieť, či sa to nedá z tejto rovnice nejako aspoň trocha elegantne odvodiť :) (postačí bez wolfrámu :P)

Ďakujem za pomoc ;)

halogan · 19. 08. 2011 21:13

Ve jmenovateli pomůže, že sin(20) = cos(70), z toho nám tam vznikne vzorec pro sin2x. Využijem toho, že sin(140) = sin(40) a zkrátíme. Pak už asi bude třeba rozložit ten sinus s rozdílem.

BakyX · 19. 08. 2011 21:33 — Editoval BakyX (19. 08. 2011 21:33)

↑ halogan:

Ďakujem. Takže ostane

$\sin(10^\circ) \sin (x^\circ) = \sin(40-x)^\circ$
$\sin(10^\circ) \sin (x^\circ) = \sin(40^\circ) \cos(x^\circ) - \sin(x^\circ) \cos(40^\circ)$
$\sin(x^\circ) (\sin(10^\circ)+\cos(40^\circ))=\sin(40^\circ) \cos(x^\circ)$

$\tan(x^\circ)=\frac{\sin(40^\circ)}{\sin(10^\circ)+\cos(40^\circ)}$

Čo teraz :) ?

halogan · 19. 08. 2011 21:37

Pozor, chybí vám tam dost klíčová dvojka, kterou se rozšiřovalo.

BakyX · 19. 08. 2011 21:38 — Editoval BakyX (19. 08. 2011 22:15)

OK tak teda:

$\tan(x^\circ)=\frac{\sin(40^\circ)}{2\sin(10^\circ)+\cos(40^\circ)}$

Ako ďalej ? nič ma nenapadá

zdenek1 · 20. 08. 2011 07:58

↑ BakyX:
$2\sin10+\cos40=\sin10+\sin10+\sin50=\sin10+(\sin50+\sin10)=$
$=2\sin30\cos20+\sin10=\cos20+\sin10=\sin70+\sin10=$
$=2\sin40\cos30=\sqrt3\sin40$

xxMari · 20. 08. 2011 13:42 — Editoval xxMari (23. 08. 2011 10:56)

Alebo $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}= \frac{\cos\beta}{\sin\beta +\frac{\cos (\alpha +\beta )}{\sin\alpha}}$
$\frac{\sin 40}{2\sin 10+\cos 40}=\frac{\cos 50}{\frac{\sin 10}{\frac12}+\sin 50}=\frac{\cos 50}{\frac{\cos 80}{\sin 30}+\sin 50}$
$\alpha=30$ , $\beta=50$ $\tan x=\tan 30$
------------------------------------------------------------------------------
↑ BakyX:
Edit: $\cos (\alpha +\beta)=\cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta$
$\cos (\alpha +\beta)+\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta$
$\sin\alpha (\frac{\cos (\alpha +\beta)}{\sin\alpha}+\sin\beta)=\cos\alpha\cos\beta$ $sin\alpha\not =0 , \cos\alpha\not =0$
-podelime $\cos\alpha$ a $\frac{\cos (\alpha +\beta)}{\sin\alpha}+\sin\beta$