Matematické Fórum

jarrro · 21. 08. 2011 17:35 — Editoval jarrro (18. 01. 2013 09:42)

ahojte v teórii množín sa množina prirodzených čísel definuje ako najmenší systém obsahujúci prázdnu množinu uzavretý na operáciu
$S{\left(a\right)}=a\cup\{a\}$
a kladie sa
$0=\emptyset\nl 1=\{0\}\nl 2=\{0,1\}\nl 3=\{0,1,2\}\nl\vdots\nl n+1=\{0,1,2,\cdots n\}\nl\vdots$
operácia sčítania sa definuje ako operácia pre ktorú platí
$a+0=a\nl a+S{\left(b\right)}=S{\left(a+b\right)}$
násobenie
$a\cdot 0=0\nl a\cdot S{\left(b\right)}=\left(a\cdot b\right)+a$
moja otázka je ako vyzerajú čisla iné ako prirodzené zapísané ako množiny
pričom $-a$ by mala byť taká množina pre ktorú platí
$a+\left(-a\right)=0$
a $\frac{a}{b}$ taká pre ktorú zasa
$b\cdot{\left(\frac{a}{b}\right)}=a$
zaujíma ma ako vyzerá napr. taká $\frac{1}{2}$ v množinovom zápise

Stýv · 21. 08. 2011 19:05

http://en.wikipedia.org/wiki/Integer#Construction
http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_n … nstruction

jarrro · 22. 08. 2011 10:01

↑ Stýv:díky takže ak tomu dobre chápem tak celé čísla sú dvojice priodzených kde
$\left(a,b\right)\equiv a-b$ a racionálne sú dvojice celých kde
$\left(c,d\right)\equiv \frac{c}{d}$ spolu s definovanými operáciami sčítania násobenia
dvojica sa definuje obvykle ako $\left(a,b\right)=\{\{a\},\{a,b\}\}$
teda $\frac{1}{2}=\{\left(1,0\right),\left(2,0\right)\}$
chápem to dobre?

Olin · 22. 08. 2011 10:09 — Editoval Olin (22. 08. 2011 10:09)

Ještě je potřeba množinu dvojic faktorizovat pomocí vhodné ekvivalence, protože chceme, aby $\tfrac 12$ a $\tfrac 24$ přece bylo to samé číslo. V případě konstrukce celých čísel to je ekvivalence $(a, b) \sim (c, d) \stackrel{\text{def}}{\Longleftrightarrow} a + d = b + c$ , v případě racionálních $a \cdot d = b \cdot c$ . Čísla pak jsou získané třídy ekvivalence.

jarrro · 22. 08. 2011 10:27 — Editoval jarrro (22. 08. 2011 14:34)

↑ Olin:máš pravdu,ale to by sa dalo obabrať pokiaľ chceme jednoduchší množinový zápis tým,že za celé čísla zoberieme len dvojice kde sa vyskytuje 0 napr. miesto $\left(2,3\right)$ zoberieme $\left(0,1\right)$
a v prípade racionálnych čísel berieme menovateľa tvaru $\left(b,0\right)$
takého,že $b\in c$ pre všetky menovatele c ktoré prichádzjú pre dané racionálne číslo do úvahy
teraz ma napadlo, že vlastne $\frac{1}{2}=\bigl\lbrace\{\left(1,0\right)\},\{\left(1,0\right),\left(2,0\right)\}\bigr\rbrace$ keďže ide o usporiadanú dvojicu
je to tak?

Olin · 27. 08. 2011 00:15

To by asi šlo, ale zesložitilo by to definice aritmetických operací (sčítání zlomků, blé!). Takhle třeba jednoduše můžu (v případě celých čísel) říct, že
$\overline{(a, b)} \stackrel{\scriptscriptstyle\mathbb{Z}}{+} \overline{(c, d)} \stackrel{\text{def}}{=} \overline{\Big(a \stackrel{\scriptscriptstyle\mathbb{N}}{+} b, c \stackrel{\scriptscriptstyle\mathbb{N}}{+} d \Big)}$ ,
kde pruhem značím třídu ekvivalence obsahující daný prvek.

jarrro · 27. 08. 2011 12:55

↑ Olin:ja som sa zle vyjadril myslel som to tak,že definovať to cez triedy ekvivalencie s ľubovoľnými reprezentantmi,ale zapisovať to ako množiny tak,že za reprezentanta zvoliť tie dvojice čo som napísal v predchádzajúcom príspevku,lebo trieda ekvivalencie je množina všetkých prvkov spolu ekvivalentných zatiľ čo pri takom zápise sa vyberie len jeden prvok z tej triedy

Matematické Fórum

#1 21. 08. 2011 17:35 — Editoval jarrro (18. 01. 2013 09:42)

"neprirodzené" čísla ako množiny

#2 21. 08. 2011 19:05

Re: "neprirodzené" čísla ako množiny

#3 22. 08. 2011 10:01

Re: "neprirodzené" čísla ako množiny

#4 22. 08. 2011 10:09 — Editoval Olin (22. 08. 2011 10:09)

Re: "neprirodzené" čísla ako množiny

#5 22. 08. 2011 10:27 — Editoval jarrro (22. 08. 2011 14:34)

Re: "neprirodzené" čísla ako množiny

#6 27. 08. 2011 00:15

Re: "neprirodzené" čísla ako množiny

#7 27. 08. 2011 12:55

Re: "neprirodzené" čísla ako množiny

Zápatí