Matematické Fórum

1)

neutrální prvek id=(1)(2)(3) se zobrazí na neutrální prvek 0, to je jasné.
prvek (1 2)(3) se zobrazí na nějaké a
prvek (1 2 3) na nějaké b.
Přitom musí platit
a+a=0 protože (1 2)(3) o (1 2)(3)=id
b+b+b=0 protože (1 2 3) o (1 2 3)=id
(a+b)+(a+b)=0 protože (1 2)(3) o (1 2 3)=(2 3)(1) a (2 3) (1)  o (2 3)(1)=id
rovnice platí jen mod 6, i tak z nich ale plyne, že b=0. Dále a=0 nebo 3.
Snadno nahlédeneme, že pro a=0 se všechny permutace zobrazí na 0.
Pro a=3 se všechny sudé permutace zobrazí na 0 a všechny liché na 3.
Ověřit, že jsou obě zobrazení homomorfní, už není těžké.

2)
to je grupa řádu 12, její Sylowského podgrupy musí mít řád 3 a 4 (vždy nejvyšší možné mocniny prvočísel dělící řád grupy).
Podgrup řádu 3 je 12/3=4, podgrup řádu 4 je 12/4=3, celkem 7.
Podgrupa řádu 3 je třeba
{3,9,1}
Podgrupa řádu 4 třeba
{8,-1,-8,1}
Grupa násobení mod 13 je cyklická s generátorem 2, přitom prvky typu 2^k mají řád 12/d, kde d je největší společný dělitel 12 a k.
(2^5 má řád 12, 2^9 řád 4 atd.)

3)

Počet prvků grupy jednotek je roven fi(m). Proto máme fi(m)=2*3. Pro každé prvočíslo p, které dělí m platí, že buď p nebo p-1 dělí fi(m). Máme tedy, že všechna prvočísla dělící m splňují p|6 nebo p-1|6, proto p je 2,3 nebo 7. Pokud 7|m, pak m=7. Jinak pokud 3|m, pak m=9. Pokud 7 ani 3 nedělí m, je m mocninou dvojky, což nejde. Pro hodnoty 7 i 9 najdeme generátor cyklické grupy: v prvním případě 3,
ve druhém 2.

Pokud 9|fi(m), pak buď:
-27 dělí m (27,54,81)
-9 dělí m a nějaké prvočíslo, které je 1 mod 3 dělí m (63)
-nějaké prvočíslo, které je 1 mod 9 dělí m (19,38,57,76,95,37,74,73)
-dvě různá prvočísla, která jsou 1 mod 3, dělí m (91)