Matematické Fórum

žabí hněv · 21. 08. 2011 14:26

Ahoj všem,

potřeboval bych prosím vás poradit s vytvořením matematického modelu bungee.

Objekt vypadá takto :

jde o to, že nevím jak určit diferenciální rovnici popisující tento objekt. nemohl by mě někdo "nakopnout" ?

žabí hněv · 21. 08. 2011 20:43

tak zkusím úvahu tedy :

Pokud je pružina kolmo k desce, ke které je pevne upevněna, tak síla pružiny bude : $F_p = k.x.sin(a)$ kde a je úhel mezi osou pružiny a deskou, tedy 90°tedy síla pružiny, která se snaží těleso vrátit zpět do původní polohy bude : $F_p = k.x$ správně?

pokud by byla jedna pružina nakloněná, jako v mém případě, tak bude síla pružiny : $F_p = k.x. sin(45°)$ správně?

pokud mám tyto pružiny 2 tak si myslím, že je musím vektorově sečíst, neboť nevím co s podmínkou rovnováhy sil, ty by musely být v jedné rovině si myslím, správně?

pokud je vektorově sečtu tak získám : $F_2p = \sqrt{(F_p.sin(45°))+(F_p.sin(45°))}=F_p.sin(45°).\sqrt{2}$ je to tak?

ted bych tedy mohl zapsat : $m.x^{''}+k.x.sin(45°).\sqrt{2}=mg$ je to tak? přikládám obrázek

žabí hněv · 22. 08. 2011 15:50

takže jde o to, že ten model musím namodelovat v Simmechanics v matlabu, nemáte s tím někdo prosím zkušenost a tím pádem byste mi mohli nějak pomoci?

žabí hněv · 22. 08. 2011 23:04

Prosím opravdu moc prosím o pomoc, dá se říci, že je to životně důležité. kdo mi s tím pomůže, finančně mu vypomůžu, opravdu moc prosím o pomoc v simmechanics. děkuji

pietro · 23. 08. 2011 10:15

Ahoj, nejakú podobnú diferenciálnu som dostal a pozri, že kmitá, nastav si rôzne y(0)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% … 280%29%3D0

Rumburak · 23. 08. 2011 11:48

↑ žabí hněv:

Podle obrázku mi přijde, že zavěšený kvádr je příliš velký na to, abychom ho mohli považovat za hmotný bod, takže bude nutno uvažovat
i jeho rozměry a otáčení v prostoru. Poněkud by se to zjednodušilo, pokud bychom navíc předpokládali, že pohyb probíbíhá pouze ve svislé
rovině procházející body, v nichž jsou pružiny úchyceny na závěsném nosníku, a že nedodochází k otáčení kvádru okolo svislé osy.
Ať již takové či jiné zjednodušující předpoklady připojíme nebo ne, bude nutno postupovat následovně:

1. umístit situaci do kartéské soustavy souřadnic (prostorové případně rovinné),

2. parametricky vyjádřit obecnou polohu kvádru - polohou bodů, v nichž jsou pružiny uchyceny na kvádru (je mezi nimi vazba plynoucí z faktu,
že kvádr je tuhé těleso),

3. síly $\vec{F}_1, \vec{F}_2$ , jimiž jsou pružiny napínány, vyjádřit (analogií "Hookeova zákona" pro pružinu) jako vektorové funkce parametrů
polohy kvádru z bodu 2,

4. sestavit pohybové rovnice - podrobnosti tohoto kroku mi ale nejsou jasné, myslím, že se nějak uplatní i moment hybnosti.

PS. Asi jsem nenapsal nic světoborného ...

žabí hněv · 23. 08. 2011 14:04

↑ Rumburak:

díky za reakci, ale jde jen o hmotný bod, já to jen musím nasimulovat v Matlab Simmechanics

žabí hněv · 23. 08. 2011 14:06

a navíc to může knitat ve 2D

Rumburak

↑ žabí hněv:
No tak to už je podstatné zjednodušení.

Body úchytů pružin na nosníku nechť jsou $A_1[-a, 0]$ , $A_2[a, 0]$ , kmitající "těleso" bude určeno bodem $T[x,y]$ , kde $y < 0$ .
Jestliže těleso vykonává pohyb, pak jeho souřadnice $x, y$ jsou závislé na čase.

Budeme ještě potřebovat parametry těch pružin, tj. délky $R_i$ při nulovém napnutí a tuhosti $K_i$ , $(i \in \{1, 2\})$ .
Je-li $r_i > R_i$ aktuální délka priužiny $i$ , pak síla, kterou je napínána, má velikost $F_i = K_i(r_i - R_i)$ . Je potřeba vyjádřit ji
vektorově, tj.

(1) $\vec{F}_i = F_i \cdot \frac{T-A_i}{|T-A_i|}= K_i(r_i - R_i)\cdot \frac{T-A_i}{|T-A_i|}$ .

Vektorem zrychlení tělesa T bude $\vec{a} = (x'', y'')$ (derivuje se podle času), dle Newtonova zákona síly platí vektorová rovnice

$-\vec{F}_1 -\vec{F}_2 + m\vec{g}= m\vec{a}$ ,

( $\vec{g}$ je vektor tíhového zrychlení, $m$ hmotnost tělesa, $-\vec{F}_i$ síly, jimiž pružiny prostřednictvím reakce působí na těleso), do které ještě
dosadíme z (1) a získáme tak pohybovou rovnici pro ono kmitající těleso. Jde o soustavu dvou nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic
druhého řádu s neznámými funkcemi $x = x(t), y = y(t)$ , kde $t$ je proměnná pro čas.

žabí hněv · 23. 08. 2011 18:38

↑ Rumburak:

díky moc, neporadil bys mi prosím jak vypočítat rovnovážné body? to znamená x, y složku ? potřebuju to k linearizaci...vím, že se tam musí položit nějak gravitační síla a ty síly těch pružin proti sobě a musí to být nula. Teď jsem to tedy napsal jako amatér, ale asi chápeš ;-) prostě jak zjistit(obecně) v jaké poloze to bude v ustáleném stavu, to znamená když na to nebude působit žádná externí síla?

Rumburak · 24. 08. 2011 09:17

↑ žabí hněv:
Rovnovážná poloha se vypočítá z rovnice $-\vec{F}_1 -\vec{F}_2 + m\vec{g}= 0$ .

žabí hněv

↑ Rumburak:

Ok ty dvě síly spočtu vektorově?Myslím ty síly těch pružin

vyjdu z Pythagorovy věty

$F_{12} = \sqrt{F_{1}^2+F_{2}^2}$
ale čemu je rovno F_1 a F_2?

pokud bude stejná tuhost pružin, R délka pružiny v klidu, r delka pruziny v rovnovaznem stavu, a je uhel
$F_1 = F_2 = k. (r-R)sin (a)$ ????

pak by bylo tedy
$F_{12} = F_G$
$k(r-R)=mg$
$k.r - k.R = mg$
$r = (mg + kR)/k$

je to tak?

Rumburak

↑ žabí hněv:

Tak toto se mi nějak nezdá, nebo tomu nerozumím. Ty síty $\vec F_1, \vec F_2$ obecně nejsou kolmé , takže počítat z nich něco podle Pyth. věty
nemá smysl. Ani žádný úhel bych to toho nemíchal, tím by se to jen zkomplikovalo. Zkusím to popsat poněkud podrobněji.

Takže když ty pružiny jsou shodné co do tuhosti $K$ i "klidové" délky $R$ , pak velikosti sil $\vec F_1, \vec F_2$ budou $F_i = K(r_i - R)$ ,
kde $r_i$ je aktuální délka pružiny $i$ , tedy

(1) $r_i = |T-A_i| =\sqrt{(x \pm a)^2 + y^2}$ .

Silou $\vec F_i$ napíná těleso pružinu $i$ , takže tato síla bude mít shodný směr i orientaci s vektorem $T-A_i$ , tudíž pro vhodné $\lambda_i \ge 0$
můžeme psát $\vec F_i = \lambda_i \cdot (T-A_i)$ . Dosazením tohoto do formule $|\vec F_i| = F_i$ dostaneme ihned $|\lambda_i \cdot (T-A_i)| = F_i$
a odtud

$\lambda_i = \frac {F_i}{|T-A_i|}= \frac{K(r_i - R)}{r_i} = K\left(1-\frac{R}{r_i}\right)$ ,

tedy

$\vec{F}_i = K\left(1-\frac{R}{r_i}\right) \cdot(T-A_i)$ .

Toto spolu s (1) a $\vec a = (x'', y'')$ , $\vec g = (0, -g)$ , kde g je číselná hodnota tíhového zrychlení, dosadíme do

(2) $-\vec{F}_1 -\vec{F}_2 + m\vec{g}= m\vec{a}$

(resp. do $-\vec{F}_1 -\vec{F}_2 + m\vec{g}= 0$ pro zjištění rovnovážné polohy), vektorovou rovnici získanou z (2) rozepíšeme po jednotlivých
vektorových souřadnicích a tím získáme soustavu dvou diferenciálních rovnic, jak jsem napsal dříve.

Tím samotný popis modelu končí. Mohli bychom ho možná transformovat pomocí nějaké šikovné substituce (i když mne v tomto ohledu
momentálně nic nenapadá), ale to už je další věc a s tím předchozím bych to nedával dohromady.

PS.
Ta substitce by mohla být $\xi = x -x_0, \,\,\eta = y -y_0$ , je-li $T_0 =[x_0,\,y_0]$ bod, v němž jsou všechny síly působící na tělěso
v rovnováze. Není těžké si domyslet, že v soustavě souřadnic, kterou jsme zavedli na začátku, bude $x_0 = 0$ .