Matematické Fórum

Pruserar · 25. 08. 2011 00:57

Mam tu ještě jednu ulohu , vůbec si sni nevím rady

Přepona Pravouhlého trojuhelníku , jehoz strany tvoří aritmetickou posloupnost , ma delku 40cm , urcete strany jeho obvodu.

Nepotrebuji uplny rozbor jak se priklad pocita, staci strucne , ja uz si to nejak dam dohromady :)

BakyX · 25. 08. 2011 00:58 — Editoval BakyX (25. 08. 2011 01:01)

Návod:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pruserar · 25. 08. 2011 01:34

↑ BakyX:

Zkusim jsem Odvesna1 je a= 20 Differenci jsem dal 10
Odvesna2 je tedy b= a+D
b= 20+10=30
Prepona podle vzorce a+2d
20+2(10) = 40cm

BakyX · 25. 08. 2011 01:41

↑ Pruserar:

Ten trojuholník ale nie je pravouhlý (neplatí $20^2+30^2=40^2$ ). Musíš vychádzať z pytagorovej vety a z $a+2d=40$

Pruserar · 25. 08. 2011 02:12

↑ BakyX:¨

CO tohle ... Obvod je 96cm , delky odvesen jsou 24 a 36

BakyX · 25. 08. 2011 02:13

↑ Pruserar:

$24+36+40=100$ . Ale jedno odvesna skutočne je $24$ , teda zrejme je to len "chyba z noci" ;)

Pruserar · 25. 08. 2011 02:14

↑ BakyX:

:-D jéé, 32

BakyX · 25. 08. 2011 02:18

↑ Pruserar:

Ešte by som chcel dodať..Všimni si, keď použiješ $c=2d+1$ , tak dostaneš kv. rovnicu S absolutným členom $\frac{5a^2}{4}+20a-1200=0$ . Keď použiješ $c=a-d$ , tak dostaneš kv. rovnicu BEZ absolutného člena $5a^2-160a=0$ . Druhá rovnica sa rieši jednoduchšie, teda je vhodnejšie použiť $c=a-d$ , aj keď to zistíš, keď už ti to bude jedno :P

Cheop · 25. 08. 2011 07:45 — Editoval Cheop (25. 08. 2011 12:21)

↑ BakyX:
Pokud máme zadání:
Např.: Strany pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost, potom tyto strany budou mít délku
$3k\\4k\\5k$ , protože pouze pravoúhlý trojúhelník o stranách 3,4,5 (a jeho "modifikace") tvoří aritmetickou posloupnost. (diference d = 1)
V našem konkrétním případě je přepona dlouhá 40 cm je to tedy osminásobek čísla 5 tedy $k=8$ to bude i diference posloupnosti
Strany hledaného trojúhelníku budou:
$8\cdot 3=24\\8\cdot 4=32\\8\cdot 5=40$
Obvod je: $o=24+32+40=96$

Jinak klasicky:
Označím:
b-d - kratší odvěsna (d je diference posloupnosti)
b - delší odvěsna
b+d - přepona
Platí:
$(b-d)^2+b^2=(b+d)^2\\b^2-2bd+d^2+b^2=b^2+2bd+d^2\\b^2=4bd\\b=4d$
$b+d=40\\4d+d=40\\5d=40\\d=8$
$b=40-d\\b=40-8=32$
$a=b-d\\a=32-8=24$
Strany trojúhelníku jsou: 24, 32, 40

Pruserar · 25. 08. 2011 13:54

↑ Cheop:

Diky , dost mi to pomohlo jen by me jeste zajimalo jak by to vypadalo , kdybych mel zadany Obvod trojuhelniku 96cm a měl vypočítat délky stran.

Cheop · 25. 08. 2011 14:01 — Editoval Cheop (25. 08. 2011 14:03)

↑ Pruserar:
Úplně stejně.
Platilo by:
1)
$b-d+b+b+d=96\\3b=96\\b=32$
2)
$(b-d)^2+b^2=(b+d)^2\\b^2-2bd+d^2+b^2=b^2+2bd+d^2\\b=4d\\d=\frac{b}{4}\\d=\frac{32}{4}\\d=8$
$a=b-d\\a=32-8\\a=24\\c=b+d\\c=32+8\\c=40$
Strany trojúhelníku jsou: 24, 32, 40

found · 25. 08. 2011 14:19

Páni, tady je rozborů...

já bych šel asi nejdříve po Pythagorově větě:
$40^2 = (40-d)^2 + (40-2d)^2 \nl 40^2 = 40^2-80d+d^2+40^2-160d+4d^2 \nl 0 = 5d^2 - 240d + 1600 \nl d^2 - 48d + 320 = 0 \nl (d-8)(d-40) = 0 \nl d_1 = 8 \nl d_2 = 40$

z čehož jasně vyplývá, že diference je 8, jelikož do záporných či nulových délek stran jít nemůžeme...

Teda 40, 40-8 a 40-16...

K čemu to zbytečné rozepisování?

Olin · 25. 08. 2011 14:35

Cheop napsal(a):
pouze pravoúhlý trojúhelník o stranách 3,4,5 (a jeho "modifikace") tvoří aritmetickou posloupnost.

To je skutečnost, na kterou bych se bez důkazu raději neodvolával.

Cheop · 25. 08. 2011 14:39 — Editoval Cheop (25. 08. 2011 14:40)

↑ Olin:
Ano já se na ni taky moc neodvolávám, ale je dobré to vědět pro "orientaci".
Podle mne by důkaz nebyl tak těžký.
Kdysi dávno jsem to dokazoval, ale ono to už může být takových 30 let.

PS: Jak vidíš, spočítal jsem to i klasicky bez použití toho trojúhelníku 3, 4, 5

musixx · 25. 08. 2011 14:47 — Editoval musixx (25. 08. 2011 14:54)

↑ Olin: ↑ Cheop: Důkaz je snadný a fakt je to možná skutečně zapamatováníhodný.

Pro ostatní:

Jsou-li strany pravoúhlého trojúhleníka $a-d$ , $a$ a $a+d$ , pak jsou to všechno nenulová čísla a je jasné, která je přepona. Rovnice $(a-d)^2+a^2=(a+d)^2$ s předpokladem $a\neq0$ však snadno dává $a=4d$ , odkud má tedy trojúhelník strany $a-d=3d$ , $a=4d$ a $a+d=5d$ .

Matematické Fórum

#1 25. 08. 2011 00:57

Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

#2 25. 08. 2011 00:58 — Editoval BakyX (25. 08. 2011 01:01)

Re: Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

#3 25. 08. 2011 01:34

Re: Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

#4 25. 08. 2011 01:41

Re: Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

#5 25. 08. 2011 02:12

Re: Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

#6 25. 08. 2011 02:13

Re: Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

#7 25. 08. 2011 02:14

Re: Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

#8 25. 08. 2011 02:18

Re: Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

#9 25. 08. 2011 07:45 — Editoval Cheop (25. 08. 2011 12:21)

Re: Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

#10 25. 08. 2011 13:54

Re: Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

#11 25. 08. 2011 14:01 — Editoval Cheop (25. 08. 2011 14:03)

Re: Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

#12 25. 08. 2011 14:19

Re: Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

#13 25. 08. 2011 14:35

Re: Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

Cheop napsal(a):

#14 25. 08. 2011 14:39 — Editoval Cheop (25. 08. 2011 14:40)

Re: Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

#15 25. 08. 2011 14:47 — Editoval musixx (25. 08. 2011 14:54)

Re: Aritmeticka posloupnost - nevim jak na postupovat

Zápatí