Matematické Fórum

gigo · 26. 08. 2011 17:45

Dobrý den všem :)
potřeboval bych pomoci s tímto integrálkem
$\int\frac{x^2+1}{x*\sqrt{x^4+x^2+1}}dx$
zavedl jsem substituci $x^2=z$
čili mám
$\int\frac{z+1}{\sqrt{z}*\sqrt{z^2+z+1}}dz$
dále $\sqrt{z^2+z+1}=t-z$
čili $z=\frac{t^2-1}{1+2t}$
$dz=\frac{2*(t^2+t+1)}{4t^2+4t+1}$
upravováním jsem se dostal až k
$\int\frac{2t^2+4t*\sqrt{1+2t}}{\sqrt{t^2-1}*(1+2t)^2}dt$
případně $\int\frac{2t^2+4t}{\sqrt{t^2-1}*(1+2t)*\sqrt{1+2t}}dt$
nechcete mi někdo poradit kam dál prosím

jelena · 26. 08. 2011 19:05

Zdravím,

pokud jsi použil takovou substituci, jak máš, potom $2x\mathrm{d}x=\mathrm{d}z$ a bylo třeba rozšířit čitatel a jmenovatel 2x:

$\int\frac{2(x^2+1)x}{2x^2\sqrt{x^4+x^2+1}}\mathrm{d}x$

potom po substituci> $\int\frac{z+1}{2z\sqrt{z^2+z+1}}\mathrm{d}z$ , ale neprocházela jsem celý postup, zda dovede k výsledku - případně se ozvi, zda se podařilo. Děkuji.

gigo · 26. 08. 2011 19:59

↑ jelena:
aha chybička se mi vloudila

tak nyní se úpravami dostávám k
$\int{\frac{t^2+2t}{(1+2t)*(t^2-1)}}dt$

taky bych mohl zřejmě, jestli to bude teda vhodnější $\int\frac{t}{(1+2t)*(t-1)}dt+\int\frac{t}{(1+2t)*(t^2-1)}dt$

jelena · 26. 08. 2011 20:08

toto bych viděla na parciální zlomky: $\int{\frac{t^2+2t}{(1+2t)(t^2-1)}}\mathrm{d}t$ , už bych to asi nerozdělovala na více integrálů.

gigo · 26. 08. 2011 20:25 — Editoval gigo (26. 08. 2011 20:26)

↑ jelena:

$\frac{A}{1+2t}+\frac{Bt+C}{t^2-1}$
$\frac {At^2-A+Bt+C+2bt^2+2Ct}{(1+2t)*(t^2-1)}$
vyšlo mi A=C=1, B=0

čili $\int \frac{dt}{1+2t}+\int\frac{dt}{t^2-1}$

jelena · 26. 08. 2011 20:31

↑ gigo:

$(t^2-1)$ má reálné kořeny, tedy rozklad bud jinak. Nebude jednodušší, když budeš postup konzultovat s online nástroje z úvodního tématu VŠ? Děkuji.

gigo · 26. 08. 2011 23:42

↑ jelena:
okay takže $t=\sqrt{z^2+z+1}+z$
tedy $t=\sqrt{x^4+x^2+1}+x^2$
tzn. $\frac12log[2*(\sqrt{x^4+x^2+1}+x^2)+1]+ \frac12log[\sqrt{x^4+x^2+1}+x^2-1]+$
$+\frac12log[\sqrt{x^4+x^2+1}+x^2+1]$
dalo by se s tím ještě něco učiniti?

jelena · 27. 08. 2011 08:52

↑ gigo:

můžeš vytknout 1/2 a podle vzorců na úpravu logaritmů nahradit součet logaritmu logaritmem součinu.

Zkoušela jsem Tvé zadání nabízet MAW za použití různých substitucí, výsledku se dobral. Pokud bych měla provádět výpočet ručně, tak bych upravila: $\int\frac{2(x^2+1)x}{2x^2\sqrt{x^4+x^2+1}}\mathrm{d}x=\int\frac{2(x^2+1)x}{2x^2\sqrt{(x^2+\frac12)^2+\frac34}}\mathrm{d}x$

substituce $x^2+\frac12=t$

$\int\frac{t-\frac12+1}{2$t-\frac12$\sqrt{t^2+\frac34}}\mathrm{d}t$ a rozdělila na 2 integraly:

$I_1=\int\frac{1}{2\sqrt{t^2+\frac34}}\mathrm{d}t$ - což je skoro tabulkový

$I_2=\int\frac{1}{2$t-\frac12$\sqrt{t^2+\frac34}}\mathrm{d}t$ , který bych vypočetla stejně, jako Wolfram (a takovou substituci jsem nabízela i MAW, protože jiná se mu nelíbila).

Ještě nevím, zda by se nepodařilo rozšíření v takovém smyslu, ale zatím jsem se tomu nevěnovala a tak nějak nemám v plánu (to zas bude propadák, až dojede pouť).

Kontroloval jsi své výsledky pomoci online nástrojů z úvodního tématu VŠ? Děkuji.

gigo · 27. 08. 2011 12:46 — Editoval gigo (27. 08. 2011 12:46)

↑ jelena:
tak pokud sem ty logaritmy upravil správně tak sem se dostal k
$\frac12log(8x^6+8x^4+8x^4\sqrt{x^4+x^2+1}+4x^2\sqrt{x^4+x^2+1}+5x^2)$
a tak to asi nechat ne?

jelena · 27. 08. 2011 13:25

↑ gigo:

Mně se ten tvůj výsledek nějak nezdá - buď ho zkontroluj derivováním nebo se podívej, co ve výsledku nabízí Wolfram - poslední Alternate Form by odpovídalo místním zvyklostem úprav.

stanly01 · 28. 08. 2011 22:07

jelena · 28. 08. 2011 22:24

↑ stanly01:

Zdravím,

co jsi měl(a) číst před zadáním nového dotazu do sekce VŠ? Děkuji. V tomto tématu už prosím nepokračuj.

K problému: per partes.

Matematické Fórum

#1 26. 08. 2011 17:45

integrál

#2 26. 08. 2011 19:05

Re: integrál

#3 26. 08. 2011 19:59

Re: integrál

#4 26. 08. 2011 20:08

Re: integrál

#5 26. 08. 2011 20:25 — Editoval gigo (26. 08. 2011 20:26)

Re: integrál

#6 26. 08. 2011 20:31

Re: integrál

#7 26. 08. 2011 23:42

Re: integrál

#8 27. 08. 2011 08:52

Re: integrál

#9 27. 08. 2011 12:46 — Editoval gigo (27. 08. 2011 12:46)

Re: integrál

#10 27. 08. 2011 13:25

Re: integrál

#11 28. 08. 2011 22:07

Re: integrál

#12 28. 08. 2011 22:24

Re: integrál

Zápatí