Matematické Fórum

byk7 · 31. 08. 2011 11:06

Zdravím, v souvislosti se Zdenkovým příspěvkem mám dotaz, jak dokázat následující rovnost.
$\cot$36^\circ$=\sqrt{1+\frac{2\sqrt{5}}{5}}$

Díky

Rumburak

Zda ona rovnost platí, to netuším, ale zkusím navrhnout způsob, jak to zjistit.

Nejprve najděme hodnoty

(1) $x = \cos 72^\circ$ , $y = \sin 72^\circ$ ,

odtut pak dojít k cíli už nebude těžké.

Jest $5 \cdot 72^\circ = 360^\circ$ , proto podle Moivreovy věty bude $(x + y \,\mathrm i)^5 = 1$ , zatímco Binomická věta dává

$(x + y \,\mathrm i)^5 =\sum_{k=0}^5 {5 \choose k} x^{5-k}(y \,\mathrm i)^k$ ,

takže

(2) $\sum_{k=0}^5 {5 \choose k} x^{5-k}(y \,\mathrm i)^k = 1$ ,

odtud přejdeme ke dvěma rovnicím, které musí být splněny pro reálné a imaginární části levé a pravé strany v (2). Je možné, že nějakým trikem
půjdou tyto rovnice vyřešit , v opačném případě můžeme aspoň provést zkoušku pro $x = \cos \alpha$ , $y = \sin \alpha$ , kde $\alpha \in (0^\circ, 180^\circ)$
je takové, že $\cot\frac{\alpha}{2}=\sqrt{1+\frac{2\sqrt{5}}{5}}$ , a vyvodit z toho potřebné závěry .

EDIT 1.

Z rovnice vzniklé z imaginárních částí (2) a jejím vydělením číslem $y^5$ získáme kvadratickou rovnici pro neznámou $t = \left(\frac{x}{y}\right)^2 = \cot^2 72^\circ$ ,
jejím vyřešením obdržíme

$\cot 72^\circ = \frac {x}{y}=\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt 5}}$ .

Návod pro pokračování jistě netřeba.

EDIT 2. Místo (1) vezměme rovnou

(3) $x = \cos 36^\circ$ , $y = \sin 36^\circ$

a rovnici $(x + y \,\mathrm i)^5 = 1$ nahraďme rovnicí $(x + y \,\mathrm i)^5 = -1$ , jinak metodicky stejně jako výše - dostaneme to rychleji.

Olin · 31. 08. 2011 12:12

http://cgi.math.muni.cz/~rvmo/ABC/58/A58i.pdf
Dole na str. 3 je pěkný elementární postup.

musixx · 31. 08. 2011 12:14

Ano, chtěl jsem poslat stejný algebraický přístup. Jsou i jiné.

zdenek1 · 31. 08. 2011 12:19

↑ byk7:
a) to nebyl můj příspěvek
b) Nevím, jestli je to nejjednodušší, ale jde to např. takto:

Mějme rovnoramenný trojúhelník $ABC$ s úhlem $36^o$ proti základně a základnou $|AB|=1$ .
osa úhlu $\beta$ protně stranu $AC$ v bodě $P$ .
$\triangle ABP$ je rovnoramenný, $\Rightarrow\ |AB|=|BP|=1$
$\triangle BPC$ je rovnoramenný, $\Rightarrow\ |BP|=|PC|=1$

trojúhelníky $\triangle ABC\sim\triangle APB$ (stejné úhly)
označím-li
$|AP|=x$
platí (poměry stran):
$\frac1{1+x}=\frac x1\ \Rightarrow\ x^2+x-1=0$
$x=\frac{\sqrt5-1}2$ (kořen musí být kladný)

v trojúhelníku $\triangle ARC$ je $\sin18^o=\frac{|AR|}{|AC|}=\frac{\frac12}{x+1}=\frac{\sqrt5-1}4$

zbytek jsou vztahy pro dvojnásobný argument gon. fcí