Matematické Fórum

Evil_666 · 28. 06. 2011 22:54

Ahoj můžete mi ještě prosím pomoct ověřit zda-li mi obsah obrazce ohraničeného funkcí y=ln(x/2) ; tečnou k této funkci v bodě 1 a osou x, vyšel správně. Vyšlo mi to 1+ln(1/2) - (ln(1/(2e)) + 2*ln(1/(2e)) +1)/2 =(přibližně) 0,066653. Díky moc

musixx · 29. 06. 2011 10:43

Jen jsem zjistil tu tečnu a nechal spočítat wolframalpha. Číselně mi vyšlo stejně.

Evil_666 · 31. 08. 2011 14:43

Ahoj, omlouvám se že vytahuju toto staré téma, ale dostal jsme za úkol to přepočítat stylem že mám rozdělit oblasti na dvě místo odečítat dva integrály od sebe, absolutně ale nevím jak to mám udělat? Poradíte mi?

jelena · 31. 08. 2011 18:47

Zdravím,

pokud se dívám na obrázek, tak se skládá z:

a) oblast mezi přímkou y=x-1+ln(1/2) a osou x (to je obsah trojúhelníku na intervalu 0 do 1-ln(1/2),
b) oblast mezi uvedenou přímkou a grafem funkce y=ln(x/2) - na intervalu od 1 do 1-ln(1/2),
c) oblast mezi osou x a grafem funkce y=ln/x/2) na intervalu od 1-ln(1/2) do 2.

Potom se dá počítat jako 2 oblasti:

část a) - lichoběžník mezi osou x a y=x-1+ln(1/2) na intervalu 0 do 1
zbytek a) + b) + c) - oblast mezi osou x a grafem y= ln(x/2) na intervalu 1 do 2.

Je to to, co potřebuješ? Děkuji.

Evil_666 · 31. 08. 2011 20:31

Né tak úplně, obsah má být jen to co svírájí ty dva grafy na obrázku + osa x od 1 do 2, vlasttně toto: http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl … +x%3D1...2 , ale já prostě netuším jak to mám spočítat abych od sebe neodčítal, ale abychto měl rozdělené na dvě oblasti...

jelena · 31. 08. 2011 20:58

↑ Evil_666:

pravda, nepopsala jsem to dobře:

- na intervalu od 1 do (1-ln(1/2)) bude rozdíl mezi plochou mezi křivkou y=ln(x/2) a osou x a obsahem trojúhelníku (mezi přímkou y=x-1+ln(1/2) a osou x),
- na intervalu od (1-ln(1/2)) do 2 bude obsah mezi osou x a grafem y= ln(x/2).

A jinak to nevidím.

Evil_666 · 31. 08. 2011 21:19

Aha a jak bys to přepsala do těch integrálů? Resp. já jsem asi guma ale fakt to tam nevidím...

jelena · 31. 08. 2011 23:10

↑ Evil_666:

Tak bych to přepsala - odkaz. Absolutní hodnota je kvůli tomu, že obrazec je pod osou x, počítám "jakoby obsah zrcadlového obrazce).

Dá se v tom vyznat? (ale abych pravdu řekla, nevím, v čem je takový zápis přínosnější, než zápis kolegy ↑ musixx:. Tedy je možné, že to vůbec není to, co potřebuješ.

Rumburak

Zdravím :-) .

Šel bych na to následovně:

Předpis té funkce $y=\ln \frac{x}{2}$ si upravme do snad přehlednělšího tvaru $y=\ln x - \ln 2$ , inversní funkcí je $x = 2\mathrm{e}^y$ .

Tečna vedená ke grafu této funkce v jeho bodě $[1, -\ln 2]$ bude mít rovnici $y = x - 1 - \ln 2$ neboli $x = y + 1 + \ln 2$ .

Bod $T[x,y]$ uvnitř vyšetřované oblasti je charakterisován těmito vlastnostmi:

(1) $-\ln 2 < y < 0$ (průmět oblasti na osu y),

(2) $y + 1 + \ln 2 < x < 2\mathrm{e}^y$ (při splnění podm. (1) bod T leží nalevo od grafu funkce a napravo od zmíněné tečny).

Obsah obrazce tedy bude dán integrálem

$\int_{-\ln 2}^0 ( 2\mathrm{e}^y - (y + 1 + \ln 2))\,\mathrm{d}y$ .

Snad tam není chyba, ale kontrola jistě neuškodí.