Matematické Fórum

M0M0 · 13. 09. 2011 15:56

Zdravím chalani, toto sme dostali ako úlohu a moc s tým neviem pohnúť...bol by som veľmi rád ak by mi to bol niekto ochotný vyjasniť...snáď treba graf + nejaké solution...vopred dík :)

cos(x/2)=sinx

Phate · 13. 09. 2011 16:03

zkus si sin x rozepsat pomoci vzorce sin 2x, tedy aby jsi dostal stejny argument jako na leve strane rovnice

M0M0 · 13. 09. 2011 16:15

myslíš že spraviť ekvivalentnú úravu a vynásobiť to x na oboch stranách?

jarrro · 13. 09. 2011 16:29

↑ M0M0:pravdepodobne myslel použiť vzťah
$\sin{\left(x\right)}=2\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}$

M0M0 · 13. 09. 2011 16:35 — Editoval M0M0 (13. 09. 2011 16:38)

došiel som k tomu, že 2sin(x/2)=1
respektive sin(x/2)=1/2

jarrro · 13. 09. 2011 16:41 — Editoval jarrro (13. 09. 2011 16:41)

↑ M0M0:áno a okrem toho
$\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}=0$

M0M0 · 13. 09. 2011 16:47 — Editoval M0M0 (13. 09. 2011 16:57)

ufff..tak teraz som sa stratil...tento posledný post nechápem...
mohol by si mi prosím postnúť riešenie? ja sa z toho už potom nejak vysomárim, dlho som nepočítal a potom to takto vypadá...

Phate · 13. 09. 2011 17:23

↑ M0M0:
podelil jsi vyrazem, ktery muze nabyvat nulove hodnoty a to $\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}$ a protoze pro $\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}=0$ ma ta rovnice smysl, tak musis vyresit, pro ktera x plati, ze $\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}=0$ . Druhe reseni budou x vyhovujici $\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac12$

((:-)) · 13. 09. 2011 17:39

↑ M0M0:

$\cos\frac x2 = 2\sin{\frac{x}{2}}\cos\frac{x}{2}$

Nemôžeš deliť kosínusom, lebo ten môže byť nula a nulou sa deliť nesmie.

Výraz z pravej strany preveď na ľavú stranu a kosínus vyjmi.

Dostaneš, že súčin dvoch výrazov má byť 0.

To bude splnené, ak ktorýkoľvek z nich bude 0 ...

M0M0 · 13. 09. 2011 17:49 — Editoval M0M0 (13. 09. 2011 17:54)

teraz som dostal, že cos(x/2)*(2sin(x/2)-1)z toho vyplýva, že x=pi lebo cos(pi/2)=0 a dalšie výsledky?

((:-)) · 13. 09. 2011 17:55

periódu treba zvážiť a potom aj ten sinus vziať do úvahy, nie iba kosínus

M0M0 · 13. 09. 2011 18:11 — Editoval M0M0 (13. 09. 2011 19:34)

viem si nakresliť periodu kosinusu ale akokolvek sa to snažím dosadiť, nevychádza mi to :/

takže pi/2 +2kpi ???

Cheop · 13. 09. 2011 20:16 — Editoval Cheop (14. 09. 2011 08:54)

↑ M0M0:
$\cos\left(\frac x2\right)=\sin\,x$
Zavedeme substituci $\frac x2=t$
$\cos\,t=\sin(2t)\\\cos\,t=2\sin(t)\cos(t)\\2\sin(t)\cos(t)-\cos\,t=0\\\cos\,t(2\sin\,t-1)=0$
1)
$\cos\,t=0\\t=\frac{\pi}{2}+k\pi$
$\frac x2=\frac{\pi}{2}+k\pi\\x=\pi+2k\pi$
2)
$\sin\,t=\frac 12\\t_1=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\t_2=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$
$\frac x2=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\x=\frac{\pi}{3}+4k\pi\\\frac x2=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\\x=\frac{5\pi}{3}+4k\pi$
Obrázek: