Matematické Fórum

jajazahradkova · 15. 04. 2008 20:48

Ahoj lidi, potřebovala bych pomoct s jedním příkladem ke zkoušce a nemůžu se dopidit k výsledku.

y" + y´ - 2y = 8 sin2x

Byla bych ráda, kdyby mi někdo mohl pomoct.

Lishaak · 15. 04. 2008 21:25

Nejprve nalezneme takzvany fundamentalni system. Tedy vyresime charakteristickou rovnici

$\lambda^2+\lambda-2 = 0$

Koreny jsou 1 a -2, tedy fundamntalni sytem je mnozina funkci

$\{e^x, \: e^{-2x}\}$

Nyni zbyva nalezt partikularni reseni. Prava strana je tvaru

$p(x)e^{\alpha{}x}\sin{\beta{}x}$

kde p(x) = 8, 'alfa' = 0 a 'beta' = 2. p(x) je tedy polynom stupne 0, cislo 2i neni korenem charakteristicke rovnice, proto partikularni reseni je tvaru

$a\cos{2x}+b\sin{2x}$

kde a,b jsou realna cisla. Vypocitame je tak, ze to cele dosadime za ypsilon do te diferencialni rovnice. Obecne reseni pak bude tvaru:

$a\cos{2x} + b\sin{2x} + c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-2x}$

kde za cisla a,b samozrejme dosadime vypoctene hodnoty.

Cili takhle to je, jestlize cokoliv neni jasne, tak se ozvi...

jajazahradkova · 16. 04. 2008 15:40

Mohl by jsi mi, prosím, rozepsat dosazení konstant a, b do partikulárního řešení.

Jorica · 16. 04. 2008 15:57

$a\cos{2x}+b\sin{2x}$ dosadis v puvodni rovnici za y
jeho derivaci, tj.

$-2a\sin{2x}+2b\cos{2x}$ dosadis za y'
a jeho druhou derivaci

$-4a\cos{2x}-4b\sin{2x}$ dosadis za y''

Odtud:
y" + y´ - 2y = 8 sin2x (puvodni rce)

$-4a\cos{2x}-4b\sin{2x}-2a\sin{2x}+2b\cos{2x}-2(a\cos{2x}+b\sin{2x})=8\sin{2x}$

Ted porovnas zvlast vyrazy u sin2x a cos2x a dostanes 2 rce pro 2 nezname a,b

u sin2x: $-4b-2a-2b=8$
u cos2x: $-4a+2b-2a=0$

no a ted jen najdes a, b ;-) a dosadis podle rady vyse.

jajazahradkova · 16. 04. 2008 21:30

Mám ještě jeden dotaz. Potřebovala bych ještě dopočítat 2 partikulární řešení této rovnice dle zadaných počátečních hodnot:
1.) y(0) = 1, y´(0) = -1
2.) y(0) = 0, y´(0) = 1
a zakreslit je do grafu na <-1;3>

plisna · 16. 04. 2008 22:13 — Editoval plisna (16. 04. 2008 22:14)

to jajazahradkova: no a v cem je problem? pokud jsi podle vyse uvedenych dvou prispevku slozila dohromady obecne reseni, tak uz by snad nemel byt problem dosadit a vypocist zbyvajici dve konstanty $c_1, \quad c_2$ . nebo se pletu?

Jorica · 16. 04. 2008 22:15

↑ jajazahradkova:
souhlas s Plisna ;-)
Pokud si jen nejsi jista spravnym vypoctem, klidne napis, k cemu jsi se dopocitala a urco ti to nekdo zkontroluje ;-)

jajazahradkova · 17. 04. 2008 18:41

Mě to vyšlo:

yp1 = 3e^x - 2e^-2x – 6/5cos2x + 2/5 sin2x

yp2 = 1/3e^x – 1/3e^-2x – 6/5cos2x + 2/5 sin 2x

Je to možné?

plisna · 17. 04. 2008 19:59 — Editoval plisna (17. 04. 2008 20:01)

to jajazahradnikova: mozne je vsechno, ale vypada to, ze mas uz chybu pri vypoctu partikularniho reseni, konstanty a, b (viz joricin prispevek #4) nejsou spravne (jsou vzajemne prehozeny a navic u jedne nesouhlasi znamenko)

jajazahradkova · 17. 04. 2008 20:30

hm, už jsem tu chybu našla. Díky

jajazahradkova · 17. 04. 2008 21:13

Tak po opravě té chyby mi to vyšlo:
yp1 = 1/3e^x + 2/3e^-2x – 2/5cos2x - 6/5sin2x
yp2 = 1/3e^x – 1/3e^-2x – 2/5cos2x – 6/5 sin 2x
Je to realné?

plisna · 17. 04. 2008 22:24

to jajazahradnikova: tak bohuzel - ani jedno neni zatim spravne (partikularni cast obecneho reseni uz je ok)

jajazahradkova · 18. 04. 2008 19:53

yp1 = 7/5 e^x - 2/5cos2x - 6/5sin2x
yp2 = 7/5 e^x - e^-2x - 2/5cos2x - 6/5sin2x

Správně?

Jorica · 18. 04. 2008 20:13 — Editoval Jorica (18. 04. 2008 20:22)

↑ jajazahradkova:

Aspon za me rikam jo ;-)
$y_{p1}=\frac 7 5 e^x-\frac 2 5 \cos{2x}-\frac 6 5 \sin{2x}$
$y_{p2}=\frac 7 5 e^x-e^{-2x}-\frac 2 5 \cos{2x}-\frac 6 5 \sin{2x}$

jajazahradkova · 18. 04. 2008 20:29

tak to je fantastické, děkuji moc za pomoc. Mohl by mi ještě někdo poradit nějaký program na vygenerování grafů nebo nějaký odkaz ne inter. stránku?

Brekeke

Prosím vás, kde, při tom partikulárním řešení, najdu "alfa" a "beta"??
A pak sem se ještě chtěla zeptat jestli vadí když místo $c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-2x}$ napíšu $c_{1}e^{-2x} + c_{2}e^{x}$ popř. jak rozpoznam jak to má být?

plisna · 05. 06. 2008 13:03 — Editoval plisna (05. 06. 2008 13:03)

konstanty $\alpha, \quad \beta$ se stanovi z prave strany resene rovnice, viz #2. na oznaceni konstant samozrejme nezalezi, mozne jsou oba tvary, tj. $C_{1}\mathrm{e}^{x} + C_{2}\mathrm{e}^{-2x}$ nebo $C_{1}\mathrm{e}^{-2x} + C_{2}\mathrm{e}^{x}$

Brekeke · 05. 06. 2008 13:17

moc moc díky

Brekeke · 21. 06. 2008 14:30

Potřebuji poradit s dalším příkladem ke zkoušce (jdu na poslední pokus :( )
y´´ - 4y´+ 4y = 4e^(2x)
Problém mám s pravou stranou zkoušela sem to počítat jako ae^(2x) i jako x ae^(2x), ale nic nevychází

jelena · 21. 06. 2008 14:59

↑ Brekeke:

http://mathonline.fme.vutbr.cz/download … d_file=804 - zkus se podivat na priklad 6.13 tady. Pokud nepujde, tak se ozvi. OK

kaja.marik · 21. 06. 2008 15:24

↑ Brekeke:
Ani jeden tvar partikularniho reseni totiz neni spravne. Dvojka je totiz dokonce dvojnasobnym korenem charakteristicke rovnice.

----------------------------------------------
„Ju, tak já teda jich taky pár sním, ale to je jistý, že potom taky dostanu škrkavku.“

Brekeke · 21. 06. 2008 16:40

Děkuji oběma. Tak už mi to vyšlo ( y= C e^(2x) + x C e^(2x) + 2 x^2 e^(2x) ). Mockrát díky

kaja.marik · 21. 06. 2008 16:53

↑ Brekeke:
neni C jako C.
pouzil bych C_1 a C_2 (ty cisla jsou dolni indexy). Musi tam totiz byt dve konstanty (a ne jedna, i kdyz dvakrat napsana)
$y= C_1 e^{2x} + x C_2 e^{2x} + 2 x^2 e^{2x}$

Brekeke · 21. 06. 2008 17:08

OK. děkuji

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2008 20:48

Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#2 15. 04. 2008 21:25

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#3 16. 04. 2008 15:40

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#4 16. 04. 2008 15:57

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#5 16. 04. 2008 21:30

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#6 16. 04. 2008 22:13 — Editoval plisna (16. 04. 2008 22:14)

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#7 16. 04. 2008 22:15

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#8 17. 04. 2008 18:41

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#9 17. 04. 2008 19:59 — Editoval plisna (17. 04. 2008 20:01)

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#10 17. 04. 2008 20:30

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#11 17. 04. 2008 21:13

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#12 17. 04. 2008 22:24

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#13 18. 04. 2008 19:53

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#14 18. 04. 2008 20:13 — Editoval Jorica (18. 04. 2008 20:22)

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#15 18. 04. 2008 20:29

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#16 05. 06. 2008 09:39 — Editoval Brekeke (05. 06. 2008 09:40)

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#17 05. 06. 2008 13:03 — Editoval plisna (05. 06. 2008 13:03)

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#18 05. 06. 2008 13:17

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#19 21. 06. 2008 14:30

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#20 21. 06. 2008 14:59

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#21 21. 06. 2008 15:24

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#22 21. 06. 2008 16:40

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#23 21. 06. 2008 16:53

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

#24 21. 06. 2008 17:08

Re: Diferenciálné rovnice se speciální pravou stranou

Zápatí