Matematické Fórum

Pr0bability · 12. 09. 2011 20:44

Dobrý den,
už nějákou chvilku se snažím vyřešit tento, pro mě obtížný, matematický problém. Jedná se o složitější lomený výraz. Chtěl bych se zeptat zda-li by mě někdo nemohl odkázat správným směrem. Děkuji :)

Zadání:
$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$

Zatím se tento příklad snažil řešit převedením jmenovatelů na $(a-b)(a-c)(b-c)$ , a následným vytýkáním, ale ne a ne se dobrat výsledku (podle Wolframu $a+b+c$ ).

Ještě jednou děkuji za případné nasměrování kam a jak.

mikl3 · 12. 09. 2011 20:56 — Editoval mikl3 (12. 09. 2011 20:57)

↑ Pr0bability: ano, postupuješ správně
$\frac{a^3b-a^3c-ab^3+b^3c+ac^3-bc^3}{(a-b)(a-c)(b-c)}$ ten čitatel je po roznásobení a samozřejmě jde upravit (zkus si to poskládat sám, ale kdyžtak ti to napíšu) na

$(a-b) (a-c) (b-c) (a+b+c)$ takže zkrátíš a výsledek je jasný

Pr0bability · 13. 09. 2011 19:45

Děkuji, ale bohužel se mi stále nedaří čitatel rozložit. Pokud byste byl tak ochotný a rozepsal mi to (aspoň první krok/y) byl bych velmi rád. :)

BakyX · 13. 09. 2011 19:50

↑ Pr0bability:

Vhodno si to usporiadaj. Skús povyberať napríklad $a^3$ respektíve $a$ pred zátvorku ;)

mikl3 · 13. 09. 2011 20:02

↑ Pr0bability: ano, vhodně uspořádávat a vytýkat a dál vytýkat
nebo můžeš $(a^3b-a^3c-ab^3+b^3c+ac^3-bc^3)/(a+b+c)$ protože víš, že to je správný výsledek

BakyX · 13. 09. 2011 20:18

↑ mikl3:

No ale on to vie iba z Wolfrámu, ktorý by v 19. storočí určite nemal a tam by musel preusporiadať..Lepšie vedieť odvodiť ako dokázať :)

Pr0bability · 13. 09. 2011 20:33

Snažím se, snažím :) Podařilo se mi pokročit o kousek dopředu. Vypadá to, že se musím ve vytýkání ještě hodně cvičit abych se trošku zrychlil.

$\frac{a^3-ab^2-abc-ac^2+b^2c+bc^2}{(a-b)(a-c)}$

mikl3 · 13. 09. 2011 20:53

↑ Pr0bability: výborná práce, mohl bych tě poprosit ještě o postup? kdyby si to chtěl někdo pak zkontrolovat, já sám jsem to dělal v jiném pořadí, ale samozřejmě ještě na tebe čeká kousek práce (ale asi ve stejném duchu)

Pr0bability · 13. 09. 2011 21:26

Tak hotovo, zbytek už byl otázkou chvilky.

Postup:

$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$

$\frac{a^3b-a^3c-ab^3+b^3c+ac^3-bc^3}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

$\frac{a[a^2(b-c)-b^3+c^3]+bc(b^2-c^2)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

$\frac{a[a^2(b-c)-(b-c)(b^2+bc+c^2)]+bc(b-c)(b+c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

Vytknout a zkrátit (b-c):

$\frac{a^3-ab^2-abc-ac^2+b^2c+bc^2}{(a-b)(a-c)}$

$\frac{a(a-b)(a+b)-c^2(a-b)-bc(a-b)}{(a-b)(a-c)}$

$\frac{a^2+ab-c^2-bc}{(a-c)}$

$\frac{(a-c)(a+c)+b(a-c)}{(a-c)}$

$a+b+c$

Děkuji mnohokrát za pomoc, snad Vás příště už nebudu zatěžovat prkotinami. :)

mikl3 · 13. 09. 2011 21:40

↑ Pr0bability: ano, tak jest, tedy nekontroloval jsem jestli tam nejsou překlepy, ale asi ne, jinak nás nezatěžuješ prkotinami, u tohohle chtělo třeba trošku přemýšlet, co z čeho vytknout, klidně by se to mohlo dát do zajímavých ZŠ úloh, aby i jiní mohli zkoušet práci s výrazem

Matematické Fórum

#1 12. 09. 2011 20:44

Algebraický výraz - složitý

#2 12. 09. 2011 20:56 — Editoval mikl3 (12. 09. 2011 20:57)

Re: Algebraický výraz - složitý

#3 13. 09. 2011 19:45

Re: Algebraický výraz - složitý

#4 13. 09. 2011 19:50

Re: Algebraický výraz - složitý

#5 13. 09. 2011 20:02

Re: Algebraický výraz - složitý

#6 13. 09. 2011 20:18

Re: Algebraický výraz - složitý

#7 13. 09. 2011 20:33

Re: Algebraický výraz - složitý

#8 13. 09. 2011 20:53

Re: Algebraický výraz - složitý

#9 13. 09. 2011 21:26

Re: Algebraický výraz - složitý

#10 13. 09. 2011 21:40

Re: Algebraický výraz - složitý

Zápatí