Matematické Fórum

OiBobik

Zdravím,

podle mě opravdu hezká identita, zkuste si ji dokázat. ; ))

$\sum_{k=0}^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}{{n-k+1} \choose {k}}=F_{n+2} \\ \text{kde }\{F_{n}\}_{n=0}^{\infty}\text{ je Fibonacciho posloupnost, tedy: } \\ F_0:=0 \\ F_1:=1 \\ \forall i \in \mathbb{N}\smallsetminus\{0,1\}: F_{i}:=F_{i-2}+F_{i-1}$

Jo a pozn: Nenechte se zmást strojem (např. takto), zřejmě mu toto moc nejde.

byk7 · 14. 09. 2011 16:55

↑ OiBobik:
pozn.: to je tím, že $\text{floor}(x)=\lfloor x\rfloor\neq\lceil x\rceil$ -> $\text{ceil}(x)=\lceil x\rceil$

halogan · 14. 09. 2011 17:01

↑ byk7:

Spíš než $\neq$ bych použil $\not \equiv$ .

Ale identita pěkná.

OiBobik

↑ byk7:

Není, resp. toho jsem si vědom, ale kdyby ta jejich identita (a zároveň ta moje) platila, znamenalo by to, že pro lib. sudé n (tj. právě tehdy, kdy floor(n/2)=ceil(n/2)) je Fibonacci(n+2)=Lucas(n), což není pravda (což uznávám, že by bylo dost cool, ale bohužel : )) ). Hlavně zkus v tom výrazu dosadit za "n" dostatečně velké číslo (9 určitě postačí) a sám wolfram ti potvrdí, že vsledek není Lucas(n).

FailED · 14. 09. 2011 19:30 — Editoval FailED (19. 09. 2011 22:49)

edit: smazáno, viz ↑ poznámka:

Když se ví, čemu se má suma rovnat, tak to jde :)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

OiBobik

↑ FailED:

Ano, já jsem postupoval podobně, akorát

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pozn: Ano, je pravda, že wolframu se ta identita líbí víc v jednodušší formě a sice $\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}{{n-k}\choose {k}}=F_{n+1}$ . Je ovšem dost podivné, že ho taková maličkost jako lineární substituce natolik zmate (že dá dokonce vyloženě nesprávný výsledek - viz ta Lucasova čísla).

Stýv · 14. 09. 2011 21:28

↑ OiBobik: tak jim napiš, že to maj blbě, ať si to opraví;)

Matematické Fórum

#1 14. 09. 2011 01:41 — Editoval OiBobik (14. 09. 2011 11:55)

Zajímavá identita

#2 14. 09. 2011 16:55

Re: Zajímavá identita

#3 14. 09. 2011 17:01

Re: Zajímavá identita

#4 14. 09. 2011 17:14 — Editoval OiBobik (14. 09. 2011 18:00)

Re: Zajímavá identita

#5 14. 09. 2011 19:30 — Editoval FailED (19. 09. 2011 22:49)

Re: Zajímavá identita

#6 14. 09. 2011 20:07 — Editoval OiBobik (14. 09. 2011 20:35)

Re: Zajímavá identita

#7 14. 09. 2011 21:28

Re: Zajímavá identita

Zápatí