Matematické Fórum

misickacz · 07. 06. 2008 12:09

Opět potřebuji pomoc:
- (x^2 - cosx)e^2x
- (x^3 + e^x)sin2x

Obojí by mělo být pomocí per partes, začala jsem roznásobením a pak integrály z jednotlivých částí, ale vždy mi tam vyjdeintegrál z e na mocninu a s ním sinus nebo cosinus a nevím co s tím, protože integrace nebo derivace e je stále e a sinus nebo cosinus se pořád mění na cosinus nebo sinus. Tak co s tím?

Všem předem děkuji za pomoc.

plisna · 07. 06. 2008 12:40 — Editoval plisna (07. 06. 2008 12:49)

naznacim prvni: uprav si vyraz na tvar $(x^2-\cos x) \mathrm{e}^{2x} = x^2\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^{2x}\cos x$ . integrovat prvni clen per partes neni problem, po dvojnasobnem pouziti polynom "zmizi" a exponenciela se jiz snadno zitregruje. druhy se udela nasledujicim zpusobem, protoze jak jsi spravne rekla, exponenciely ani sinu nebo kosinu se per partesenim nezbavis.

nyni si vsimni, ze se nam per partesenim znovu objevil integral $\int \mathrm{e}^{2x} \cos x \,\mathrm{d}x$ . znovu opakovat per partes by nemelo smysl - dvakrat bychom jej opakovali a opet by jsme se dostali k temuz problemu. muzeme vsak sestavit rovnici - leva strana, tj. zadani, se musi rovnat prave strane, tedy mame rovnici

$\int \mathrm{e}^{2x} \cos x \,\mathrm{d}x = \mathrm{e}^{2x} \sin x + 2 \mathrm{e}^{2x} \cos x - 4 \int \mathrm{e}^{2x} \cos x \,\mathrm{d}x + C$

tedy upravami dostavame

$5 \int \mathrm{e}^{2x} \cos x \,\mathrm{d}x = \mathrm{e}^{2x} \sin x + 2 \mathrm{e}^{2x} \cos x + C$

a konecne

$\int \mathrm{e}^{2x} \cos x \,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^{2x} \sin x + 2 \mathrm{e}^{2x} \cos x}{5} + C$

misickacz · 07. 06. 2008 18:00

↑ plisna:
Tak to je dost rafinovaný postup, to by mě ani náhodou nenapadlo. Ten druhý tedy bude na stejném principu, že. Moc děkuji za pomoc.

Brekeke · 21. 06. 2008 14:26

Poradíte mi prosím s integrálem od 0 do pí/2 3 sin^3 (x)
sin^3 x jsem rozložila na sin^2 x * sin x, dále pak (1 - cos^2 x) * sin x, pak jsem subtituovala cos x. Pořád mi to ale vychází divně :(

jelena · 21. 06. 2008 14:53

↑ Brekeke:

vsechno delas dobre. Pozor na znamenka, jinak tam zadne riziko nevidim. Napis, prosim vysledek integralu nebo si ho over tady: http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?sess … unction.en

Chrpa · 21. 06. 2008 17:23 — Editoval Chrpa (21. 06. 2008 17:25)

$\int sin^3xdx=\int sin^2x\cdot sinx dx$ budeme počítat metodou per partes
$u=sin^2x\nlv^,=sinx\nlu^,=2sinxcosx\nlv=-cosx$
$\int sin^3xdx=-sin^2xcosx-\int 2sinxcosx(-cosx)dx$
$\int sin^3xdx=-sin^2xcosx+2\int sinxcos^2xdx$
$\int sin^3xdx=-sin^2xcosx+2\int sinx(1-sin^2x)dx$
$\int sin^3x=-sin^2xcosx+2\int sinxdx-2\int sin^3xdx$
$3\int sin^3x=-sin^2xcosx-2cosx$
Na levé straně rovnice máme nyní výraz, který jsme měli původně integrovat upravíme a dostaneme:
$3\int sin^3x=-cosx(sin^2x+2)$
Je třeba si uvědomit:
$sin 0=0\nlcos 0=1\nlsin\frac\pi2=1\nlcos\frac\pi2=0$
Do výsledku dosadíme meze pro určitý integrál a dostaneme:
$-cos\frac\pi{2}(sin\pi/2+2)-(-cos 0(sin^2 0+2)=2$

jelena · 21. 06. 2008 17:27

↑ Chrpa:

Zdravim :-)

a proc ne substituce?

Chrpa · 21. 06. 2008 17:33 — Editoval Chrpa (21. 06. 2008 17:34)

↑ jelena:
Zdravstvuj Jelena já jsem to po pravdě řečeno substitucí nezkoušel.
Ještě k příkladu od ttopi
Trojúhelník už počítám přes hodinu a k žádnému výsledku jsem zatím nedospěl.
Snad jen k tomu, že výška je kolmá ke straně.

ttopi · 21. 06. 2008 18:04

↑ Chrpa:
Tak to teda koukám.
Dobrá tedy. Určitě jsi si udělal vektor AB (4;1) a z vektoru na něj kolmý (-1;4) udělal obecnou rovnici výšky na stranu c=AB. Dále sis pak určitě udělal vektor AC, který je (a;b) a z vektoru na něj kolmý (-b;a) obecnou rovnici výšky na stranu AC. Máš tedy 2 rovnice a hledaný bod je vlastně průsečík těchto přímek (průsečík výšek).
Když budeš soustavu řešit, určitě ti to rozumně vyjde :-)

Brekeke · 21. 06. 2008 18:07

Když to dělám tou substitucí, tak mi to vychází 3pí (vim že je to špatně ale prosím koukněte mi na to kde dělám chybu)

3∫ (1-cos^2 x) sin x dx= 3∫ (1 - t^2) sin x ( - dt/sin x) = 3∫ - (1 - t^2) dt = 3 [ 2t ]. Pak dosadím meze a vyjde mi 3pí
cos x = t
dt = - sin x dx
dx = -dt/sin x

Chrpa · 21. 06. 2008 18:09

↑ ttopi:
Jo, přesně tohle jsem sice udělal, ale dál už mě ty rovnice jaksi nevychází.
Prostě jsem se do toho zamotal tak, že bude asi lepší začít úplně od začátku.

jelena · 21. 06. 2008 18:15

↑ Brekeke:

3∫ - (1 - t^2) dt = 3 [ 2t ] - toto neni dobre.

Ma vychazet prece -3 (t - t^3/3) pak jeste vratit substituci - misto t cos x . A az pak meze a vychazi to stejne jako kolega ↑ Chrpa: 2.

↑ Chrpa:↑ ttopi: musim trochu nastolit poradek - presunte tu debatu o vyskach tam, kde ma byt :-) Tady to zbytecne mate :-) Dekuji :-)

Chrpa · 21. 06. 2008 18:28

↑ Brekeke:
Po úpravě té substituce ti vyjde inegrál:
$-3\int (1-t^2)dt=\frac{3t^3}{3}-3t=t^3-3t$
Vrátíme se k substituci $cosx=t$ a výsledek bude:
$cos^3x-3cosx$
Pak už stačí dosadit meze a vyjde výsledek 2
Dosazením meze $\frac\pi2$ vyjde 0 (cos 90 = 0)
Dosazením meze $0$ vyjde:
$-(1-3)=3-1=2$

Chrpa · 21. 06. 2008 18:33

↑ jelena:
Máš Jelenko jako vždy pravdu. Témata se nemají míchat dohromady, pak je v tom "bordel".
Substitucí je výpočet toho integrálu o hodně snažší než tou mou metodou per partes
Mimochodem kdybych pokračoval v úpravách toho mého výsledku, tak dojdu k úplně stejnému řesšení jako v případě substituce.
Na papíře už jsem to dokázal.

Brekeke · 21. 06. 2008 19:54

↑ Chrpa: ↑ jelena:
Máte samozřejmě pravdu, sem to nakonci derivovala místo integrovala!
A můžete mi ještě poradit v čem pak dělám chybu, dyž mi to vychází tak jak napsal Chrpa $-3\int (1-t^2)dt$ ale pak dál počítám -3 [ t - t^3/3 ] , pak -3 [cos x - cos^3 x/ 3], no a teďka dosazuju meze do tý závorky 0 - 0 - 1 - 1/3, pak násobím -3 a vychází mi 4

jelena · 21. 06. 2008 20:07

↑ Brekeke:

0 - 0 - 1 - 1/3 - to neni OK, bohuzel :-( chybi zavorky.

-3 [cos x - cos^3 x/ 3] = -3 [(0 - 0/3)-(1-1/3)] = -3 [0 - 2/3] = 2

OK?

Brekeke · 21. 06. 2008 20:18

jojojo díky moc. Co bych si bez tebe počala (a bez ostatních tady taky)

jelena · 21. 06. 2008 20:43

↑ Brekeke:

Bez nas :-) ? Urcite by to mohlo byt i neco zabavnejsiho, nez matematika, ale s nami je take zabava :-)

Brekeke · 22. 06. 2008 14:47

↑ jelena:
Tak to já věřím že je s váma zábava, to neříkám že ne :)) ale momentálně mi dost pomáháte, tak doufám že tu zkoušku konečně dám.

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2008 12:09

integrály

#2 07. 06. 2008 12:40 — Editoval plisna (07. 06. 2008 12:49)

Re: integrály

#3 07. 06. 2008 18:00

Re: integrály

#4 21. 06. 2008 14:26

Re: integrály

#5 21. 06. 2008 14:53

Re: integrály

#6 21. 06. 2008 17:23 — Editoval Chrpa (21. 06. 2008 17:25)

Re: integrály

#7 21. 06. 2008 17:27

Re: integrály

#8 21. 06. 2008 17:33 — Editoval Chrpa (21. 06. 2008 17:34)

Re: integrály

#9 21. 06. 2008 18:04

Re: integrály

#10 21. 06. 2008 18:07

Re: integrály

#11 21. 06. 2008 18:09

Re: integrály

#12 21. 06. 2008 18:15

Re: integrály

#13 21. 06. 2008 18:28

Re: integrály

#14 21. 06. 2008 18:33

Re: integrály

#15 21. 06. 2008 19:54

Re: integrály

#16 21. 06. 2008 20:07

Re: integrály

#17 21. 06. 2008 20:18

Re: integrály

#18 21. 06. 2008 20:43

Re: integrály

#19 22. 06. 2008 14:47

Re: integrály

Zápatí