Matematické Fórum

miso16211 · 15. 09. 2011 12:12

Mam napr. 18, zistite počet deliteľov čisla 18.

Rozložím na prvočísla, $18 = 2^1. 3 ^2$

Nam ucitelka hovorila ze zoberiem exponenty ku ktorym pricitam 1 a vynasobim

$(1+1).(2+1)$

Ja se ted pytam, môzeme napisat $18 = 2^1. 3 ^2.1^8$ $(1+1).(2+1).(1+8)$ a to urcite nebude vychadzať.

Cheop · 15. 09. 2011 12:26

↑ miso16211:
1 není prvočíslo

Phate · 15. 09. 2011 12:35 — Editoval Phate (15. 09. 2011 12:36)

↑ miso16211:
je to rozklad na prvocisla a to jednicka urcite neni a jinak kdyz se na tento vzorec podivas s kombinatorickeho hlediska, tak je to hned jasne. Delitel cisla $x$ , napriklad $d$ musi delit cislo $x$ , to znameno, ze cislo $x$ je nejakym jeho celociselnym nasobkem, tedy $\exists ! k \in \mathbb{Z}: k \cdot d=x$ . Z toho tedy vyplyva, ze kdyz cislo $x$ ma rozklad na prvocinitele: $x=p_1^{n_1} \cdot p_2^{n_2} \dots \cdot p_n^{n_n}$ , pak kazdy jeho delitel se sklada prave z nejvyse $n$ z techto $p_1$ az $p_n$ delitelu a u kazdeho delitele nebude ve vyssi mocnine nez $n_i$ , kde $i$ je prislusny index. Z toho vyplava, ze na sestaveni delitele mame pro prvni index $n_1 + 1$ moznosti, protoze ta jedna moznost je, ze by prvni prvocinitel byl na nultou. Analogicky pro dalsi cinitele mame tedy vzdy u kazdeho exponentu jendu mozost navic a to tu, kdyz by ten dany exponent byl nulovy.

Honzc · 15. 09. 2011 12:52 — Editoval Honzc (15. 09. 2011 12:53)

↑ miso16211:
Je-li
$n=p_1^{n_1} \cdot p_2^{n_2} \dots p_n^{n_n}$ rozklad na prvočísla, pak
platí:
$pd=(n_1+1) \cdot (n_2+1) \dots (n_n+1)$ , kde $pd$ je počet dělitelů čísla $n$
Jenom upozorňuji, že počet dělitelů je včetně čísla $1$ a samotného $n$