Matematické Fórum

Voldik · 11. 09. 2011 22:18

Zdravím, řeším jednu úlohu a nevím si s ní moc rady. Cílem je určit dobu volného pádu z bodu, na který se dostaneme posunem 99 km na východ přímkovým posunem z výchozích souřadnic.

Co máme:
Elipsoid dle definice WGS-84 (http://cs.wikipedia.org/wiki/World_Geodetic_System), jehož parametry jsou:

Code:

a = 6 378 137 m
b = 6 356 752,3142 m
c = 6 399 593,6258 m

Posun po přímce: Nejedná se o "správný" východní posun po rovnoběžce, ale po její tečně. Při tomto posunu se mění i souřadnice severní šířky (dostávám se více na jih v případě, že jsem na severní polokouli). Dostaneme se přibližně na souřadnice N 49° 10.732 E 018° 59.395, v kartézské soustavě:

Code:

x = 3 950 970,48062154 m
y = 1 359 650,00955071 m
z = 4 804 702,26731197 m

A jelikož to není posun po rovnoběžce, dostaneme se trochu nad zem a zde už nastupuje elipsoid.
Snažil jsem se to (hodně) zobecnit na kruh a vzdálenost body na tečně od kružnice, ale vyšlo mi přes 700 m, což se mi zdá moc.

Hodně by zde určitě pomohlo udělat řez elipsoidem a vytvořit tak elipsu. Bohužel si to nedokáži v hlavě pořádně představit.

Věděl by si někdo s tímto problémem rady? Předem děkuji za pomoc.

Rumburak · 16. 09. 2011 16:12

Voldik napsal(a):
Hodně by zde určitě pomohlo udělat řez elipsoidem a vytvořit tak elipsu. Bohužel si to nedokáži v hlavě pořádně představit.

To je správná myšlenka. Úlohu bude vhodné řešit v analytické geometrii. Nechť elipsoid je popsán rovnicí

(1) $\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 +\left(\frac{z}{c}\right)^2 = 1$

a uvažujeme jeho řez rovinou o rovnici

(2) $z = w$ ,

kde $w \in (-c, c)$ je daná konstanta. Potom průmět takového řezu do roviny o rovnici $z = 0$ je elipsa, jejíž rovnici získáme dosazením
(2) do (1), tedy

$\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 +\left(\frac{w}{c}\right)^2 = 1$ ,

což se pro další výpočty možná ještě šikne upravit do tvaru, který je pro rovnici elipsy obvyklý.

Matematické Fórum

#1 11. 09. 2011 22:18

Vzdálenost bodu na tečně od elipsoidu (Země)

Code:

Code:

#2 16. 09. 2011 16:12

Re: Vzdálenost bodu na tečně od elipsoidu (Země)

Voldik napsal(a):

Zápatí