Matematické Fórum

squo · 17. 09. 2011 21:59

ahoj,
chcel by som sa spytat, neviete mi niekto nejak jednoducho vysvetlit, kedy sa pouziva substituce prveho a kedy druheho druhu? Ja v tom nevidim rozdiel... preco sa nepouziva stale prveho druhu? Viem, ze pri jednej sa pocita dt/dx pri druhej naopak, ale fakt neviem DOVOD preco sa raz pouziva jedna a raz druha - resp. ako to rozlisit...

Vdaka :-)

stenly · 18. 09. 2011 08:53

↑ squo:Zadej konkrétní příklady na substituci prvního a druhého druhu a já ti to pak vysvětlím.

squo · 18. 09. 2011 11:22

ok, tak napr.
$\int\frac{\sqrt{(x+1)/(x-1)}-1}{\sqrt{(x+1)/(x-1)}+1}dx$
teraz volime $t=\sqrt{(x+1)/(x-1)}$ a toto je druha substitucia.

(Preco? preco by prva substitucia nepomohla? A aky je v tom rozdiel?)

Stýv · 18. 09. 2011 12:55

↑ squo: neni tohle 1. substituce?

squo · 18. 09. 2011 16:57 — Editoval squo (18. 09. 2011 17:05)

mne sa zda, ze druha, aspon v rieseni sa vyjadrovalo x z toho celeho...

ale to stale nemeni otazku, ze ako zistit, ktora sa kde pouziva...(vidno to nejak z niecoho, ze kedy ktoru pouzit, alebo nie? ako vy viete, kedy ktoru pouzit?)

FailED · 19. 09. 2011 23:10 — Editoval FailED (19. 09. 2011 23:11)

My jsme to měli takhle.

Musíš poznat, co ti asi tak pomůže. Prostě si zkus pár příkladů různými postupy...

Možná taky máte nějaký soubor standardních substitucí (eulerovy, goniometrické apod), které fungují pro nějaké speciální případy, to se vyplatí naučit.

Rumburak

↑ squo:
Nejsem si jist, zda jsem správně pochopil, co máš na mysli pod pojmy "substituce prvního resp. druhého druhu". Snad máš na mysli to,
že vzorec z věty o substituci, který má tvar

(1) $\int f(y)\,\mathrm{d}y = \int f(y(x))\, y'(x)\,\mathrm{d}x$

(adekvátně pro určitý integrál) můžeme používat oběma směry (jsou-li splněny předpoklady věty), podle užitečnosti v dané situaci.

Příklady:

I. $\int \sqrt{1+y^2} \,\mathrm{d}y = \int \sqrt{1+\sinh^2 x} \,\cosh x\, \mathrm{d}x = \int \cosh^2 x\, \mathrm{d}x = \int \left(\frac{\mathrm{e}^x +\mathrm{e}^{-x}}{2}\right)^2\, \mathrm{d}x =...$

(směr "z leva do prava" , použita substituce $y = \sinh x = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}, \,\,\mathrm{d}y = y'(x)\,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^x +\mathrm{e}^{-x}}{2} \,\mathrm{d}x = \cosh x \,\mathrm{d}x$ ) ,

II. $\int \sin^6 x \,\cos x \,\mathrm{d}x = \int y^6 \,\mathrm{d}y = ...$ ,

(směr "z prava do leva" , použita substituce $\sin x = y, \cos x \,\mathrm{d}x = \mathrm{d}y$ ).

Tato "dvousměrnost" vzorce (1) bývá někdy presentována (podle mého názoru poněkud komplikovaně) formou dvou vět o substituci.

EDIT. K otázce jak odhadnout, kdy kterou variantu použít:
Když výchozí integrál má tvar $\int f(y(x))\, y'(x)\,\mathrm{d}x$ , pak se nabízí vrianta II a hned je i jasné, jakou konkretní substituci zvolit,
avšak taková substituce má význam pouze tehdy, když takto získaný $\int f(y)\,\mathrm{d}y$ umím vypočíst (případně jinak využít).
V ostatních případech to chce umět dopředu odhadnout, co by pomohlo, tj. mít přehled o konkretních funkcích a zkušenost.