Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#3 18. 09. 2011 20:40 — Editoval mathfes (18. 09. 2011 20:44)
Re: goniometrická rovnice
Na intervalu od 0° do 360° nabývá funkce cosinus hodnoty -odmocnina(3)/2 dvakrát, poprvé v bodě odpovídajícícmu 150° a podruhé v bodě 210°. Protože se ale vlní pořád dál s periodou 360°, jsou řešením i všechny úhly odpovídající 150° + k×360° a 210° + k×360°, kde k je celé číslo. Myslím, že to chtěl obrázek říci...
EDIT: r1 a r2 se počítají vždycky, když řešení není maximum (1) nebo minimum (-1), které se na intervalu 0° až 360° vyskytují jenom jednou. Úplně nejlepší je nakreslit graf a rovnoběžku s osou x bodem, který odpovídá hodnotě funkce (tady -odmocnina(3)/2). Všechny průsečíky této přímky s cosinusoidou jsou řešení.
Omluvte kvalitu zápisu, nejsem TeXnický typ.
"Život je komplexní. Má reálné i imaginární složky." - A. & E. Cherkaev
"Cesta k matematice možná není královská, ale zase vás na ní nepřejede žádnej debil." - Emil Calda, HgS
Offline
#4 18. 09. 2011 20:50
Re: goniometrická rovnice
tady přidávám obrázek toho, co napsal kolega mathfes :-)
akorát je to nějaké velké, tak jsem to dal skrytě, ať to nenarušuje vzhled stránky :D
Což je to možné! Tento stařičký světec ještě ani nezaslechl v svém lese, že bůh je mrtev!
Offline
#5 18. 09. 2011 20:54 — Editoval ((:-)) (18. 09. 2011 21:07)
Re: goniometrická rovnice
↑ baju:
Máš zistiť, pre ktoré uhly platí, že keď (napríklad na kalkulačke) naťukáš cos a za tým hodnotu toho uhla, vyjde ti 
.
Sú na to postupy.
Kosínus je záporný v II. a III. kvadrante (kvadranty vidno na obrázku jednotkovej kružnice, pomocou ktorej sa goniometrické funkcie definujú).
Najprv sa zistí uhol z I. kvadrantu (medzi 0°a 90°), ktorého kosínus je 
.
Je to známy uhol 
, ak sa nemýlim.
Uhly v druhom kvadrante, ktoré majú rovnaké hodnoty goniometrických funkcií (prípadne až na znamienko) sú uhly 
a uhly z III. kvadrantu 
Odtiaľ sú hodnoty 150° (2. kvadrant) a 210° (3. kvadrant).
Ako už uviedli kolegovia predo mnou, kosínus uhla je periodická funkcia, v ktorej sa hodnoty pravidelne opakujú po 360°.
Offline
#9 18. 09. 2011 21:09 — Editoval ((:-)) (18. 09. 2011 22:10)
Re: goniometrická rovnice
↑ baju:
Stačí si to zapamätať... :-) : II. kvadrant 180°- alfa, III. kvadrant 180°+ alfa, IV. kvadrant 360°- alfa, alfa je uhol z I. kvadrantu...
Výklad: kosínus pri jednotkovej kružnici zodpovedá súradnici x bodu jednotkovej kružnice, ktorý patrí k príslušnému uhlu.
Keď si znázorníš uhol 30° a bod jednotkovej kružnice, ktorý k nemu patrí, uvidíš, že jeho súradnica x sa v druhom kvadrante (až na znamienko)
rovná súradnici x bodu, ktorý patrí k uhlu 180°- 30°. (Podobne pre III. kvadrant, iba uhol je 180°+ 30°).
Pri kladnom znamienku aj IV. kvadrant, uhol 360°-30°.
Offline
#10 18. 09. 2011 21:12 — Editoval mathfes (18. 09. 2011 21:14)
Re: goniometrická rovnice
↑ baju:
Když ten příklad kreslíš do (jednotkové) kružnice, vyneseš si hodnotu cosinu na osu x, uděláš v tom bodě kolmici k ose a dostaneš dva průsečíky s kružnicí, které jsou řešením. A zase je nutné mít na paměti, že kolem kružnice můžeš k-krát oběhnout a tím k vyseknutým úhlům přičíst k-násobek 360°.
EDIT ... Raději to jdu naučit GeoGebru.
Omluvte kvalitu zápisu, nejsem TeXnický typ.
"Život je komplexní. Má reálné i imaginární složky." - A. & E. Cherkaev
"Cesta k matematice možná není královská, ale zase vás na ní nepřejede žádnej debil." - Emil Calda, HgS
Offline
#11 18. 09. 2011 21:33 — Editoval ((:-)) (18. 09. 2011 21:53)
Re: goniometrická rovnice
↑ baju:
K odkazu v príspevku 8.
Sinus (teda podľa definície súradnica 
bodu, ktorý patrí k uhlu) je záporný v III. a IV. kvadrante.
Odtiaľ pochádza počítanie, lebo v III. kvadrante je hľadaný uhol 180°+ alfa a v IV. kvadrante je 360°- alfa,
pričom alfa je uhol z prvého kvadrantu s príslušným (ale kladným) sinusom.
Pri týchto úlohách si vždy treba ako prvé uvedomiť, v ktorom kvadrante bude hľadaný uhol.
Určuje sa to podľa toho, či je daný sinus uhla (súradnica y bodu patriaceho na jednotkovej kružnici k uhlu) alebo kosínus uhla (súradnica x bodu patriaceho na jednotkovej kružnici k uhlu).
Znamienka súradníc sú vidno na súradnicových osiach, tie sa učiť netreba...
Offline