Matematické Fórum

xsimix · 18. 09. 2011 10:09

Zdravím a prosím o radu.. Mám určit poloměr kružnice opsané a souřadnice středu kružnice opsané trojúhelníku ABC.. Napadlo mě, že poloměr kružnice bych mohla zjistit jako délku od bodu C k úsečce AB, ale nevím, jak tuto myšlenku realizovat a ani, zda je to správně.. A jak určit souřadnice středu nemám tušení..

pietro · 18. 09. 2011 10:22

↑ xsimix: Ahoj a možno Ti pomôže aj táto stránka

http://cs.wikipedia.org/wiki/Kru%C5%BEnice_opsan%C3%A1

((:-)) · 18. 09. 2011 10:26

↑ xsimix:

Ahoj.

Treba si uvedomiť, na ktorých "čiarach" leží stred opísanej kružnice - akú majú vlastnosť.

Myslím, že Tvoj nápad nefunguje.

Ako presne znie zadanie?

xsimix · 18. 09. 2011 14:36

↑ ((:-)):
Přesné zadání příkladu je: Je dán trojúhelník ABC: A [2, -3], B [5, -4], C [4, -2]. A mám vypočítat poloměr kružnice opsané trojúhelníku a souřadnice středu kružnice opsané.

zdenek1 · 18. 09. 2011 15:29

↑ xsimix:
Obecný postup:
rovnice kružnice je $x^2+y^2+ax+by+c=0$

Dosadíš souřadnice daných bodů
$x^2+y^2+2a-3b+c=0$
$x^2+y^2+5a-4b+c=0$
$x^2+y^2+4a-2b+c=0$

odečteš (1)-(2) a (1)-(3)
dostaneš soustavu dvou rovnic o dvou neznámých
vypočítáš
vrátíš se k původní rovnici
doplníš na čtverec a tím určíš poloměr.

Cheop · 19. 09. 2011 07:59 — Editoval Cheop (19. 09. 2011 10:53)

↑ xsimix:
Obecné řešení:
$(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$ - obecná rovnice kružnice o poloměru r a středem S(m,n)
Dosazením souřadnic bodů A, B, C dostaneme:
1)
$(2-m)^2+(-3-n^2)=r^2$
2)
$(5-m)^2+(-4-n)^2=r^2$
3)
$(4-m^2)+(-2-n)^2=r^2$
Řešením je:
Stroj
PS:
Pokud určíme vektor AC a vektor BC, zjistíme, že jsou tyto vektory na sebe kolmé, potom víme, že zadaný trojúhelník je pravoúhlý
Víme, že:
1) Střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku leží ve středu přepony (AB)
2) Poloměr kružnice opsané je 1/2 strany AB
Stačí tedy určit
a) souřadnice středu úsečky AB = střed kružnice
b) vzdálenost středu od např. bodu A = poloměr kružnice

PPS:
Dalším "obecným" postupem je tento:
Víme, že střed kružnice opsané trojúhelníku leží na osách stran. Osa strany je kolmá k této straně
a prochází jejím středem. Stačí tedy:
1) Určit směrové vektory 2 stran = normálové vektory os
2) Určit souřadnice 2 středů stran
3) Určit rovnice 2 os tj. normálové vektory os, procházejíci středy stran
4) Střed kružnice bude prusečík těch dvou os (2 rovnice o 2 neznámých)
5) Poloměr kružnice bude vzdálenost středu od jednoho z vrcholů trojúhelníku.(vzdálenost 2 bodů)