Matematické Fórum

Garrett

Dobrý den.
Čeká mě zkouška ze statistiky a tak mě včera při stavění balíčku Magicu napadla jedna úloha.
Mám balíček s 60 kartami. Ten obsahuje dvě STEJNÉ RARE karty, které jsou pro mě zásadní a rozhodují o vítězství ve hře.
Na začátku hry se rozdává 7 karet. Jaká je pravděpodobnost že z těch sedmi karet bude:
1: alespoň jedna RARE
2: obě dvě RARE
3: právě jedna RARE

Já se přiznám, že s pravděpodobností se moc nekamarádím. Kdyby měl někdo čas a chuť mi poradit postup, byl bych mu za to vděčný.

Kdyby se rozdávaly dvě karty tak bych to zkusil řešit
1: Jako sjednocení ((2/60)*(58/59))+((58/60)*(2/59))+((2/60)*(1/59))-((2/60)*(58/59))*((58/60)*(2/59))*((2/60)*(1/59))
2: Jako průnik ((2/60)*(1/59))
3: Jako průnik ((2/60)*(58/59))*((58/60)*(2/59))

Ale když se tahá 7 karet, tak mě nic nenapadá. Ostatně ani to co jsem napsal výše, tak si nejsem jistý správností postupu.

OiBobik

↑ Garrett:

1) A:"alespoň jedna je Rare" je doplněk k jevu B:"žádná z nich není rare". Jelikož rare jsou v balíčku dvě, platí
$p(B)=\frac{58}{60} \cdot \frac{57}{59} \cdot \frac{56}{58} \cdot \frac{55}{57} \cdot \frac{54}{56} \cdot \frac{53}{55} \cdot \frac{52}{54}$
Přičemž $p(A)=1-p(B)$
(na pravděpodobnost p(B) přijdeme jednoduše: oněch sedm karet si představím, že tahám po jedné. Pak první karta nesmí být rare, druhá karta nesmí být rare ... atd)

2) Zde u vytažených 7 kartách bude asi jendodušší uvažovat jako o neuspořádané sedmici, abychom nemuseli rozlišovat případy, ve kterém výběru je která z rare karet vytažena jako kolikátá (neboli, abychom to zbytečně nekomplikovali). Tedy množina všech jevů budou neuspořádané sedmice z 60, vyhovující jevy budou ty sedmice, které obsahují obě rare. Tedy

$p=\frac{{58 \choose 5}}{{60 \choose 7}}$

3) Analogicky jako 2), akorát je třeba spočítat počet kombinací, v nichž je právě jedna rare karta. To lze udělat více způsoby, jeden z nich je odečíst od počtu všech kombinací počet kombinací se dvěma rare kartami a počet kombinací s žádnou rare kartou. Tedy

$p=\frac{{60 \choose 7}-{58 \choose 5}-{58 \choose 7}}{{60 \choose 7}}=1-\frac{{58 \choose 5}+{58 \choose 7}}{{60 \choose 7}}$

pietro · 19. 09. 2011 14:20

Ahojte, prikladám ako rozmanitosť...

myslím, že by sme aj takto mohli......očísluj si ich od 1 do 60, pričom č. 59 a 60 sú RARE.
prvá sedmica 1,2,3,4,5,6,7..........atd . až XXXXXX,58,59,60

1.otázka: záleží na poradí?....nie ===> kombinácie
2. môžu sa opakovať? ..nie===> bez opakovania

60 nad 7 je počet komb. bez opak. všetky

úloha bod3. práve jedna

najprv č.59

jedna bude RARE a 6 ks kombinujeme šesticu z 58 ks, pomer
C(58,6)/C(60,7) = pst (prave č59)
a to isté s druhou č60

pst(prave 1=č59 alebo 60)= C(58,6)/C(60,7)+C(58,6)/C(60,7)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2* … +60%2C7%29

porovnanie s OiBobik

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1- … 860%2C7%29

OiBobik · 19. 09. 2011 14:23

↑ pietro:

Aha, to mi nedošlo, že to jde vlastně takto přímo : )) já v tom zas hledal složitosti.

Matematické Fórum

#1 19. 09. 2011 12:57 — Editoval Garrett (19. 09. 2011 12:57)

Pravděpodobnost

#2 19. 09. 2011 13:22 — Editoval OiBobik (19. 09. 2011 13:48)

Re: Pravděpodobnost

#3 19. 09. 2011 14:20

Re: Pravděpodobnost

#4 19. 09. 2011 14:23

Re: Pravděpodobnost

Zápatí