Matematické Fórum

nicaveronica · 20. 09. 2011 18:53

Nevím si rady s úlohou:
Určete 4 čísla celá, která tvoří aritmetickou posloupnost, jejich součet je 20, součet jejich reciprokých hodnot je 25/24.
čísla: x-3d,x-d,x+d,x+3d.

Alivendes

Ahoj, podíváme se na to

$x+(x+d)+(x+2d)+(x+3d)=20$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+d}+\frac{1}{x+2d}+\frac{1}{x+3d}=\frac{25}{24}$

To je rovnice o dvou neznámých :)

Hanis · 20. 09. 2011 19:26

Neměla by ta první rovnice být $x+(x+d)+(x+2d)+(x+3d)=20$ ?

Alivendes · 20. 09. 2011 19:34

↑ Hanis:

Děkuji :)

nicaveronica · 20. 09. 2011 19:34

můžu si dovolit vypočítat x? abych neměla rovnici o dvou neznámých

Hanis · 20. 09. 2011 19:36

Máš soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Hodně štěstí...

BakyX · 20. 09. 2011 20:54

Označme:

1. člen $x-2d$
2. člen $x-d$
3. člen $x$
4. člen $x+d$

Vytvorená sústava bude iba kvatrická - tj. dá sa riešiť prevodom na kvadratickú rovnicu substitúciov $a^2 = d$

Cheop · 21. 09. 2011 09:25 — Editoval Cheop (21. 09. 2011 10:09)

↑ nicaveronica:
Jen prostou úvahou:
Protože součet reciprokých hodnot je dle zadání $\frac{25}{24}$ potom
číslo 24 musí být dělitelné všemi hledanými čísly. Protože jejich součet
má být 20 (což je docela malé číslo - pro součet 4 čísel) a navíc to mají být čísla celá, a ještě ta čísla mají tvořit aritmetickou
řadu potom by to mohla být čísla:
$2,\,4,\,6,\,8$
Zkouškou zjistíme, že jsou to opravdu hledaná čísla, protože:
$2+4+6+8=20\\\frac 12+\frac 14+\frac 16+\frac 18=\frac{25}{24}$

Honzc · 21. 09. 2011 10:14 — Editoval Honzc (21. 09. 2011 10:15)

↑ Cheop:
Čau,
samozřejmě existuje i druhé řešení
$8,\,6,\,4,\,2$

Cheop · 21. 09. 2011 10:17

↑ Honzc:
Čus,
to je snad logické

BakyX · 21. 09. 2011 11:23

↑ Cheop:

Tento postup hľadá jedno riešenie ale nedokazuje, že nejaké iné riešenie neexistuje, napríklad pre iracionálne $d$

Rumburak · 21. 09. 2011 11:47

↑ BakyX:
Zadání úlohy začíná "Určete 4 čísla celá, která tvoří aritmetickou posloupnost, ..." odtud plyne, že i diference této posloupnosti je celé číslo.

BakyX · 21. 09. 2011 11:49

↑ Rumburak:

Tak to som si nevšimol. Väčšina takýchto úloh sa rieši pre R.

sorry ↑ Cheop:

Cheop · 21. 09. 2011 12:06

↑ BakyX:
Kdyby ta čísla nemusela být celá potom:
Stroj to vyřešil takto

Matematické Fórum

#1 20. 09. 2011 18:53

Aritmetická posloupnost-slovní úloha

#2 20. 09. 2011 19:05 — Editoval Alivendes (20. 09. 2011 19:33)

Re: Aritmetická posloupnost-slovní úloha

#3 20. 09. 2011 19:26

Re: Aritmetická posloupnost-slovní úloha

#4 20. 09. 2011 19:34

Re: Aritmetická posloupnost-slovní úloha

#5 20. 09. 2011 19:34

Re: Aritmetická posloupnost-slovní úloha

#6 20. 09. 2011 19:36

Re: Aritmetická posloupnost-slovní úloha

#7 20. 09. 2011 20:41 — Editoval BakyX (20. 09. 2011 20:42) Příspěvek uživatele BakyX byl skryt uživatelem BakyX. Důvod: Nedomyslené do konca

#8 20. 09. 2011 20:54

Re: Aritmetická posloupnost-slovní úloha

#9 21. 09. 2011 09:25 — Editoval Cheop (21. 09. 2011 10:09)

Re: Aritmetická posloupnost-slovní úloha

#10 21. 09. 2011 10:14 — Editoval Honzc (21. 09. 2011 10:15)

Re: Aritmetická posloupnost-slovní úloha

#11 21. 09. 2011 10:17

Re: Aritmetická posloupnost-slovní úloha

#12 21. 09. 2011 11:23

Re: Aritmetická posloupnost-slovní úloha

#13 21. 09. 2011 11:47

Re: Aritmetická posloupnost-slovní úloha

#14 21. 09. 2011 11:49

Re: Aritmetická posloupnost-slovní úloha

#15 21. 09. 2011 12:06

Re: Aritmetická posloupnost-slovní úloha

Zápatí