Matematické Fórum

kt5 · 22. 09. 2011 17:32

Můžete mi prosím poradit? Počítám příklady s elipsami a mám je zadané pomocí rovnic tohoto typu:

9x^2+25y^2=4
nebo
9x^2+25y^2-54x-100y-44=0

Abych mohla pokračovat v řešení příkladů, potřebuji tyto rovnice převést na středové rovnice. Umím to obráceně, ze středových na obecné, ale takto to neumím. Jak se to prosím dělá?

((:-)) · 22. 09. 2011 17:35 — Editoval ((:-)) (22. 09. 2011 17:35)

↑ kt5:

Myslím:

V úlohe 2 treba najprv urobiť doplnenie do úplného štvorca, v úlohe 1 vydeliť celú rovnicu číslom 4, aby na pravej strane bolo číslo 1.

kt5 · 22. 09. 2011 17:41

↑ ((:-)):

Děkuju za radu, tu první rovnici snad vyřešit zvládnu, ale nerozumím tomu doplňování čtverce. Můžete mi prosím popsat, jak se to dělá?

zdenek1 · 22. 09. 2011 17:57

↑ kt5:
$9x^2+25y^2-54x-100y-44=0$
$9(x^2-6x)+25(y^2-4y)=44$
nyní v závorkách něco chybí, aby to byl vzorec $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
to něco najdeš tak, že vezmeš číslo u $x$ (u $y$ ) (tj. v první závorce 6, ve druhé 4), vydělíš dvěma a dáš na druhou
$\color{red}9\color{black}(x^2-6x+\color{red}9\color{black})+\color{red}25\color{black}(y^2-4y+\color{red}4\color{black})=44+\color{red}9\cdot9\color{black}+\color{red}25\cdot4$
co přidáš nalevo, musíš přidat i napravo
$9(x-3)^2+25(y-2)^2=225$
a celou rovnici vydělíš 225, aby napravo byla 1

((:-)) · 22. 09. 2011 17:59 — Editoval ((:-)) (22. 09. 2011 17:59)

↑ kt5:

9x^2+25y^2-54x-100y-44=0

$9x^2-54x+25y^2-100y-44&=\\9(x^2-6x\color{red}+9-9\color{black})+25(y^2-4y\color{red}+4-4\color{black})-44&=\\9(x^2-6x\color{red}+9)-\color{blue}81\color{black}+25(y^2-4y\color{red}+4\color{black})-\color{blue}100\color{black}-44&=\\9(x-3)^2+25(y-2)^2-225&=0$

Podľa tohto $9(x-3)^2+25(y-2)^2&=225 /:225\\\frac{9(x-3)^2}{225}+\frac{25(y-2)^2}{225}&=1\\\frac{(x-3)^2}{\frac{225}{9}}+\frac{(y-2)^2}{\frac{225}{25}}&=1$

kt5 · 22. 09. 2011 18:09

↑ ((:-)):

Moc děkuju za vysvětlení. Ještě bych měla dotaz na tu první rovnici. Podle toho, co jste mi poradili, jsem rovnici vydělila 4. Vyšlo mi 2,25x^2+6,25y^2=1. Stejně teď nevím, jak dál. Jsem zvyklá na středovou rovnici ve tvaru zlomků. Když ale rovnici nechám ve tvaru zlomků, budu mít v obou jmenovatelích čtyřku, což znamená, že poloosa a i b bude mít velikost 2. To by ale už nebyla elipsa, ale kružnice...

zdenek1 · 22. 09. 2011 18:22

↑ kt5:
Ukázala ti to ↑ ((:-)): na konci příspěvku #5 (ale tam se to dá ještě zkrátit, tady ne)
$9x^2+25y^2=4$
$\frac{9x^2}4+\frac{25y^2}4=1$
$\frac{x^2}{\frac49}+\frac{y^2}{\frac{4}{25}}=1$
$a=\frac23$
$b=\frac25$

kt5 · 22. 09. 2011 19:00

↑ zdenek1:

Děkuju, ani jsem nevěděla, že lze velikosti poloos takto krátit. Lze to samé provést i s excentricitou? Vyšlo mi 8/15. Můžu ji tedy zkrátit na 2/3?

zdenek1 · 22. 09. 2011 21:06

↑ kt5:
$\frac8{15}$ na $\frac23$ rozhodně nezkrátíš.
$\frac23=\frac{10}{15}$

Jinak, samozřejmě, kdyby se to dalo zkrátit, tak to zkrátit můžeš - dokonce bych řekl, že bys měla krátit vždy, když to jde.

kt5 · 22. 09. 2011 21:14

↑ zdenek1:

Aha, mě bylo totiž divné, že jsi zkrátil 4/9 na 2/3. Čitatel se krátil 2, jmenovatel 3. Byla jsem přesvědčená, že se čitatel i jmenovatel může krátit jen jedním číslem - např. 4/8 na 1/2 - čitatel i jmenovatel se zkrátil čtyřkou. Ještě dotaz: Může se nezkrácený výsledek považovat za chybný?

((:-)) · 22. 09. 2011 21:18

↑ kt5:

Tie Zdenkove zlomky nevznikli krátením, ale podľa tvaru rovnice elipsy odmocnením.

Zlomok $\frac49$ predstavuje hodnotu $a^2$ , potom $a=\sqrt\frac49=\frac23$ , podobne $b$ .

Myslím si, že úloha s nevykrátenými zlomkami nie je úplne doriešená...

Matematické Fórum

#1 22. 09. 2011 17:32

analytická geometrie - rovnice

#2 22. 09. 2011 17:35 — Editoval ((:-)) (22. 09. 2011 17:35)

Re: analytická geometrie - rovnice

#3 22. 09. 2011 17:41

Re: analytická geometrie - rovnice

#4 22. 09. 2011 17:57

Re: analytická geometrie - rovnice

#5 22. 09. 2011 17:59 — Editoval ((:-)) (22. 09. 2011 17:59)

Re: analytická geometrie - rovnice

#6 22. 09. 2011 18:09

Re: analytická geometrie - rovnice

#7 22. 09. 2011 18:22

Re: analytická geometrie - rovnice

#8 22. 09. 2011 19:00

Re: analytická geometrie - rovnice

#9 22. 09. 2011 21:06

Re: analytická geometrie - rovnice

#10 22. 09. 2011 21:14

Re: analytická geometrie - rovnice

#11 22. 09. 2011 21:18

Re: analytická geometrie - rovnice

Zápatí