Matematické Fórum

Pauli31 · 22. 09. 2011 21:02

Ahoj potřeboval bych pomoct se slovní ulohou :Soušet prvních tří členů geometrické posloupnosti je 21, součet jejich druhých mocnin je 189. Určete tyto členy.
Sestavím si rovnice
$a_1+a_2+a_3=21$
a
$a_1^2+a_2^2+a_3^2=189$

a
$21=a_1*\frac{q^3-1}{q-1}$
první dvě rovnice si upravím takhle

$a_1+a_1q+a_1q^2=21$
$a_1^2+a_1^2q^2+a_1^2q^4= 189$

po vydělení obou rovnic a vytknutí mi vznikne rovnice

$a_1(1+q+q^2)=9$ tj. $a_1=\frac{9}{1+q+q^2}$

když a1 dosadím do třetí rovnice tak mi to nevyjde. Prosím poradte už sem v koncích, nevím jestli mám špatný postup nebo co díky.
výsledek by měl být
$a_1=3$
$a_2=6$
$a_3=12$
nebo
$a_1=12$
$a_2=6$
$a_3=3$

zdenek1 · 22. 09. 2011 21:41

↑ Pauli31:
Nejspíš máš špatně vydělení rovnic.
Já bych postupoval takto:
$21=a_1\frac{q^3-1}{q-1}$ (1)

nyní bych se na rovnici $a_1^2+a_1^2q^2+a_1^2q^4= 189$ podíval jako na součet nové posloupnosti s prvním členem $a_1^2$ a kvocientem $q^2$ .
její součet je
$189=a_1^2\frac{q^6-1}{q^2-1}$ (2)

rovnici (1) umocním a vydělím (2)/(1)^2
$\frac{a_1^2\frac{q^6-1}{q^2-1}}{a_1^2\frac{(q^3-1)^2}{(q-1)^2}}=\frac{189}{441}$
a nyní rozkládat pomocí vzorců
$\frac{(q^3-1)(q^3+1)(q-1)^2}{(q^3-1)^2(q-1)(q+1)}=\frac37$
$\frac{(q^3+1)(q-1)}{(q^3-1)(q+1)}=\frac37$
$\frac{(q+1)(q^2-q+1)(q-1)}{(q-1)(q^2+q+1)(q+1)}=\frac37$
$\frac{q^2-q+1}{q^2+q+1}=\frac37$

Zbytek by neměl být problém

Matematické Fórum

#1 22. 09. 2011 21:02

Geometrická posloupnost slovní uloha

#2 22. 09. 2011 21:41

Re: Geometrická posloupnost slovní uloha

Zápatí