Matematické Fórum

Bismooth · 22. 09. 2011 22:46

Ahoj. Byl bych moc rád kdyby mi někdo mohl tento příklad vyřešit. Hlavně bych chtěl POSTUP jak se k výsledku dojde.

Určete n E N tak, aby pětinásobek třetího členu binomického rozvoje byl číslo opačné k osminásobku členu pátého.

Ja vím, že to na tomto foru už bylo, ale tam je už jenom výsledek.

Díky

zdenek1 · 22. 09. 2011 23:14

↑ Bismooth:
třetí člen má tvar
${n\choose2}(\sqrt2)^{n-2}\left(\frac i4\right)^2$
pátý člen má tvar
${n\choose4}(\sqrt2)^{n-4}\left(\frac i4\right)^4$

a teď jen vyřešíš rovnici
$-5{n\choose2}(\sqrt2)^{n-2}\left(\frac i4\right)^2=8{n\choose4}(\sqrt2)^{n-4}\left(\frac i4\right)^4$

Nevím jaký další postup potřebuješ.

Bismooth

To co si napsal , tak sem tam přesne skončil :D . Ja hlavně nevím jak to dál upravit abych z toho dostal to n. (Vím, že na matiku moc hlavu nemám :))

((:-)) · 22. 09. 2011 23:24 — Editoval ((:-)) (23. 09. 2011 00:55)

↑ Bismooth:

Ahoj.

Urobíš binomický rozvoj:

${n\choose_0}(\sqrt2)^n+{n\choose_1}(\sqrt2)^{n-1}\frac{i}{4}+\color{red}{n\choose_2}(\sqrt2)^{n-2}\frac{i^2}{4^2}\color{black}+{n\choose_3}(\sqrt2)^{n-3}\frac{i^3}{4^3}+\color{red}{n\choose_4}(\sqrt2)^{n-4}\frac{i^4}{4^4}\color{black}+\cdots$

Tretí a piaty člen sú vyznačené červenou farbou.

Podľa zadania má platiť

$5\cdot\color{red}{n\choose_2}(\sqrt2)^{n-2}\frac{i^2}{4^2}\color{black}=-8\cdot\color{red}{n\choose_4}(\sqrt2)^{n-4}\frac{i^4}{4^4}$

Napríklad - rozpíšeme:

$5\cdot\frac{\color{magenta}n(n-1)}{2\cdot1}\cdot2^{\frac{n-2}{2}}\cdot\frac{\color{blue}i^2}{4^2}=-8\frac{\color{magenta}n(n-1)\color{black}(n-2)(n-3)}{4\cdot3\cdot2\cdot1}\cdot2^{\frac{n-4}{2}}\frac{\color{blue}i^4}{4^4}$

Úpravou vznikne rovnica:

$\color{blue}-\color{black}5\cdot\frac{\color{magenta}1}{2\cdot1}\cdot2^{\frac{n-2}{2}}\cdot\frac{\color{blue}1}{4^2}=-8\frac{(n-2)(n-3)}{4\cdot3\cdot2\cdot1}\cdot2^{\frac{n-4}{2}}\cdot\frac{\color{blue}1}{4^4} \color{red} /\cdot- 2\cdot 4^2$

Po vynásobení

$5\cdot2^{\frac{n-2}{2}}=\color{red}8\color{black}\frac{(n-2)(n-3)}{\color{blue}4\cdot3\cdot2\cdot1}\cdot2^{\frac{n-4}{2}}\cdot\frac{1}{\color{red}8} \color{blue}/\cdot24$

Vykrátením čísla 8 a násobením číslom 24 dostaneme

$120\cdot2^{\frac{n-2}{2}}=(n-2)(n-3)\cdot2^{\frac{(n-4)}{2}} \color{red}/:2^{\frac{n-4}{2}}$

Vydelíme mocninou čísla 2 (použijeme pravidlo počítania s mocninami) a vyriešime vzniknutú kvadratickú rovnicu...

Bismooth · 22. 09. 2011 23:37

Ted kdyz na to koukam jak ti zmizelo n(n-1) ? a to i^2 jak se to přemenilo na 1 ?

((:-)) · 22. 09. 2011 23:40 — Editoval ((:-)) (23. 09. 2011 00:56)

↑ Bismooth:

Výrazom n(n-1) sa celá rovnica vydelila.

$i^2 = -1$ , i je imaginárna jednotka, predpokladám

$i^4=1$

$2^{\frac{n-2}{2}} : 2^{\frac{n-4}{2}} = 2^{\frac{n-2}{2}\color{red}-\color{black}\frac{n-4}{2}}=2^1 = 2$

Bismooth · 22. 09. 2011 23:44

Aha oke to n(n-1) chápu.

:D No to i je jenom neznámá, ale jsem rád že sem se dozvěděl něco nového.

((:-)) · 22. 09. 2011 23:50 — Editoval ((:-)) (22. 09. 2011 23:50)

↑ Bismooth:

Myslím, že je len jedna neznáma $n$ a $i$ je imaginárna jednotka, pre ktorú platia uvedené rovnosti...

Rovnica dostane tvar $240 = (n-2)(n-3)$ , tá sa už dorieši ľahko.

Bismooth · 22. 09. 2011 23:54

Okey. Moc ti děkuju za vysvětlení :)

Matematické Fórum

#1 22. 09. 2011 22:46

Binomická věta

#2 22. 09. 2011 23:14

Re: Binomická věta

#3 22. 09. 2011 23:21 — Editoval Bismooth (22. 09. 2011 23:21)

Re: Binomická věta

#4 22. 09. 2011 23:24 — Editoval ((:-)) (23. 09. 2011 00:55)

Re: Binomická věta

#5 22. 09. 2011 23:37

Re: Binomická věta

#6 22. 09. 2011 23:40 — Editoval ((:-)) (23. 09. 2011 00:56)

Re: Binomická věta

#7 22. 09. 2011 23:44

Re: Binomická věta

#8 22. 09. 2011 23:50 — Editoval ((:-)) (22. 09. 2011 23:50)

Re: Binomická věta

#9 22. 09. 2011 23:54

Re: Binomická věta

Zápatí