Matematické Fórum

JohnNash · 24. 09. 2011 13:35

Počet dělitelů čísla p1 . p2 . pn, kde pi jsou navzájem různá prvočísla je roven 2^n. Jak toto tvrzení dokázat indukcí?

BakyX · 24. 09. 2011 14:34

Predpokladaj, že $p_1 p_2 ... p_n$ má $2^n$ deliteľov a dokáž z toho, že číslo $p_1 p_2 ...p_n p_{n+1}$ má $2^{n+1}$ deliteľov.

((:-)) · 24. 09. 2011 14:38 — Editoval ((:-)) (24. 09. 2011 14:44)

↑ JohnNash:

1. Ukážeš platnosť pre dve prvočísla v rozklade.

2. Predpokladáš platnosť pre $k$ prvočísel v rozklade, teda že počet deliteľov čísla $p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k$ je $2^k$

3. Za tohto predpokladu dokážeš, že číslo $p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k\cdot p_{k+1}$ má $2^{k+1} = 2\cdot 2^k$ deliteľov.

JohnNash · 24. 09. 2011 15:02

↑ ((:-)):
Přesně toto mám napsané, ale jakým způsobem dokážu, že je to 2 . 2^k?

((:-)) · 24. 09. 2011 15:06 — Editoval ((:-)) (24. 09. 2011 15:06)

↑ JohnNash:

Vieš (z predpokladu), že číslo $p_1\cdotp_2\cdot\dots\cdot p_k$ má $2^k$ deliteľov.

Otázka je, koľko deliteľov pribudne, keď sa počet prvočísel v rozklade zväčší o 1.

Na Tvojom mieste by som si to skúsila pre nejaké únosné čísla a potom zovšeobecnila...

JohnNash

↑ ((:-)):
Samozřejmě jsem si to pro malá čísla zkusil, vím, že to tak vychází, jen to není moc rigorózní... Jestli to ovšem všichni řešíte takto, pak s tím pravděpodobně nemám problém.

((:-)) · 24. 09. 2011 15:11 — Editoval ((:-)) (24. 09. 2011 15:12)

↑ JohnNash:

Ešte raz: Otázka je, že keď pribudne ešte jedno číslo v prvočíselnom rozklade, koľko pribudne deliteľov. Vieš?

JohnNash

↑ ((:-)):
Vždycky když přibude jedno číslo (nazvěme jej nyní třeba n + 2), tak bude 4 . 2^n dělitelů, jestli jsem pochopil otázku správně

JohnNash · 24. 09. 2011 15:19

↑ JohnNash:
Zkrátka s každým dalším číslem v rozkladu na prvočísla se počet dělitelů zvýší dvakrát.

((:-)) · 24. 09. 2011 15:24

↑ JohnNash:

Áno - ale vieš, ako sa to stane? Prečo?

Lebo Ty máš ten vzťah d o k á z a ť .

JohnNash · 24. 09. 2011 16:29

↑ ((:-)):
Nevím, proto jsem psal, že mi to odvozování z malých čísel nepřijde rigorózní přístup :D

((:-)) · 24. 09. 2011 16:54 — Editoval ((:-)) (24. 09. 2011 16:55)

↑ JohnNash:

Myslím, že ďalšie delitele pribudnú tak, že každý z už jestvujúcich $p^k$ deliteľov sa vynásobí tým $(k+1).$ prvočíslom z rozkladu.

Pribudne teda presne $p^k$ deliteľov, takže všetkých deliteľov je:

pôvodných $p^k$ deliteľov, ktoré vieme z indukčného predpokladu

a ešte ďalších $p^k$ deliteľov, ktoré vzniknú tak, že pôvodné delitele (je ich $p^k$ ) vynásobíme (k + prvým) prvočíslom.

Po spočítaní dostaneme $p^k+p^k = 2p^k$ deliteľov, čbtd.

Číslo 3.5 má delitele 1,3,5,15

Číslo 3.5.2 má delitele 1,3,5,15 (ako číslo 3.5) a ešte delitele obsahujúce dvojku, teda: 2.1,2.3,2.5, 2.15

Číslo 3.5.2.7 má delitele 1,3,5,15,2,6,10,30 (ako číslo 3.5.2) a ešte delitele obsahujúce sedmičku, teda 1.7,3.7,5.7,15.7,2.7,6.7,10.7,30.7

Možno sa mýlim alebo možno je nutnosť dokázať ešte aj ten počet pribudnutých deliteľov...