Matematické Fórum

↑ JLs:

Ahoj, to je jenom taková formalitka:

řešme indukcí dle n... počtu vektorů

pro n=1,2,3 zřejmě asociativita platí (z definice vektorového prostoru)
pro n=1,2 zřejmě komutativita platí (z definice vektorového prostoru)

předpokládejme tedy, že tvrzení platí pro k=2,3...n-1 (tedy tvrzení "libovolné korektní uzávorkování součtu uspořádané k-tice vektorů dává stejný výsledný vektor") a my chceme ukázat, že tvrzení platí pro n.
1) asociativita:
   Mějme výraz1 v1+v2+ ... +vn uzávorkován jedním způsobem a ten stejný výraz2 uzávorkován jiným způsobem.
   A) vnější uzárkování obou výrazů je shodné (tj oba výrazy jsou tvaru: "(v1...vl)+(v(l+1)...vn)" ) - pak stačí na vnitřek obou vnějších závorek použít indukční předpoklad, dostaneme součet dvou vektorů stejných v obou uzávorkováních a tedy obě uzávorkování dávají stejný součet.
  B) vnější uzávorkování se liší ... nechť je búno sitace taková:
    výraz1=(v1...vl)+(v(l+1)...vn)
    výraz2=(vi...vl...vm)+(v(m+1)...vn) (tedy m>l)
Pak opět použitím indukčního předpokladu můžeme upravit
   výraz1=(v1...vl)+((v(l+1)...vm)+(v(m+1)...vn))
   výraz2=((v1...vl)+(v(l+1)...vm))+(v(m+1)...vn)
Odtud použitím indukčního předpokladu pro k=3, k=l, k=m-l, k=n-m dostaneme
    výraz1=(v1...vl)+((v(l+1)...vm)+(v(m+1)...vn))=((v1...vl)+(v(l+1)...vm))+(v(m+1)...vn)=výraz2 a jsme hotovi.


Zkus nějak analogicky tu komutativitu.