Matematické Fórum

Bernardin · 24. 09. 2011 11:32

Ahoj, zdravím. Mohl bych poprosit, jak se mám v následujících dvou příkladech dopracovat k výsledku? resp. mohl by to tady nekdo spočítat? dik

1.) Najděte všechny body, ve kterých funkce $f(x, y, z) = y$ nabýva maxima, resp. minima vzhledem k množině

$M = \{(x, y, z) \in \mathbb R^3 : z^2 = x^2+y^2, x+y-2z = 3 \}$

( Omezenost množiny M lze dokázat např. použitím nerovnosti $(x+y)^2 \le 2x^2+2y^2.$
Doporučuji užívat omezenost M ( pokud ji budete potřebovat) bez analytického dukazu a věnovat se tomu pouze, pokud Vám zbyde čas.)

2.) Najdědete maximum a minimum funkce $f(x,y) = x$ na množine

$A = \{(x,y) \in R^2 : y = ( x^2+y^2)^2 \}$

( Návod: Lze snadno ukázat, že $y \in [0, 1] pro (x, y) \in A$ a z toho odvodit , že A je omezená)

Za opovědi děkuji :-)

Rumburak

Ad 1.
Množina M je průsečnicí rotační kuželové plochy o rovnici $z^2 = x^2+y^2, x+y-2z = 3$ s rovinou o rovnici $x+y-2z = 3$ .
Pomocí normálového vektoru (1, 1, -2) té roviny odvodíme, že množina M je elipsou. Bude možno použít metodu Lagrangeových multiplikátorů
(v tomto případě dvou). Označíme-li ještě $g(x, y, z) = x^2+y^2 - z^2$ , $h(x, y, z) = x+y-2z - 3$ , vyřešíme soustavu

$\nabla f(x,y,z) \,-\, \lambda \,\nabla g(x,y,z) \,- \,\mu \,\nabla h(x,y,z) = \vec 0$ ,
$g(x,y,z) = 0$ ,
$h(x,y,z) = 0$

pro neznámé $x,y,z, \lambda, \mu$ , z nichž nás ve finále budou zajímat pouze $x,y,z$ . U kažého z nalezených bodů $[x,y,z]$ obecně nutno ověřit,
jde-li o extrémální bod a jakého druhu - zde to bude snadné.

(Symbolem $\nabla$ je označen operátor gradientu - Hamiltonův operátor nabla, takže první z rovnic je vektorovou rovnicí, kterou rozepíšeme
do tří rovnic skalárních, takže celkem máme pět rovnic pro pět neznámých.)

Ad 2. Obdobně , soustava bude mít tvar

$\nabla f(x,y) \,-\, \lambda \,\nabla g(x,y) = \vec 0$ ,
$g(x,y) = 0$

Pro vhodné funkce f, g.

Matematické Fórum

#1 24. 09. 2011 11:32

Maximum a minimum funkce

#2 26. 09. 2011 10:27 — Editoval Rumburak (26. 09. 2011 10:33)

Re: Maximum a minimum funkce

Zápatí