Matematické Fórum

guri · 27. 09. 2011 16:17

Toto mame dokazat matematickou indukciou. V druhom indukcnom kroku sa vzdy nejako zamotam :/ Vdaka za navedenie na spravnu cestu

byk7 · 27. 09. 2011 19:06

jde o řadu
$$-\frac13$+0+\frac13+\ldots+\frac{n-2}{3}=\frac{n(n-3)}{6}$

Nyní indukce:
1) vykoušíme pro $n=1$
$L=\frac{1-2}{3}=-\frac13\wedge P=\frac{1\cdot(1-3)}{6}=-\frac13\Rightarrow L=P$

2) indukční předpoklad
$$-\frac13$+0+\frac13+\ldots+\frac{n-2}{3}=\frac{n(n-3)}{6}$

3) indukční krok
$L&=$-\frac13$+0+\frac13+\ldots+\frac{n-2}{3}+\underbrace{\frac{(n+1)-2}{3}}_{=(n-1)/3} \\ P&=\frac{(n+1)((n+1)-3)}{6}=\frac{(n+1)(n-2)}{6}$
výraz označený $L$ je zřejmě aritmetická posloupnost s parametry $a_1=-1/3,\,d=1/3$ a $n+1$ členy, sečtěme tedy tuto posloupnost
$L=S_{n+1}=\frac{(n+1)$a_1+a_{n+1}$}{2}=\frac{(n+1)\cdot$\(-\frac13$+\frac{n-1}{3}\)}{2}=\frac{(n+1)(n-2)}{6}=P$

A jsme hotovi.

Olin · 27. 09. 2011 21:48

↑ byk7:
Pravda, ale v jistém smyslu s tím nesouhlasím. Jde o to, že v indukčním kroku jsi v podstatě uvedenou řadu sečetl bez jakéhokoliv využití indukčního předpokladu - to šlo udělat okamžitě bez indukce, když se odvoláme na vzorec pro součet "kusu" aritmetické posloupnosti (k jehož důkazu se indukce obvykle využívá).

Domnívám se, že více "košér" řešení by bylo, kdybychom z indukčního předpokladu usoudili, že

$L = $-\frac13$+0+\frac13+\ldots+\frac{n-2}{3}+\frac{(n+1)-2}{3} \stackrel{\text{IP}}{=} \frac{n(n-3)}{6} + \frac{n-1}{3} = \frac{(n+1)(n-2)}{6} = P$ .

Matematické Fórum

#1 27. 09. 2011 16:17

matematicka indukce a sumy

#2 27. 09. 2011 19:06

Re: matematicka indukce a sumy

#3 27. 09. 2011 21:48

Re: matematicka indukce a sumy

Zápatí