Matematické Fórum

zuzik1 · 02. 10. 2011 16:21

Ahoj potřebuji pomoct s vyřešením jednoho příkladu.
Dokaž mat. indukcí že: $f:y = \frac{x-1}{x+2}$ je prostá
Nějak nevím jak začít. Doteď jsem vždy dokoazovala, že něco platí i pro n=k+1, ale v tohle příkladě mi to asik moc nepomůže nebo se pletu?
Fce f je prostá na definičním oboru D, jestliže pro každé dvě hodnoty $x_1,x_2, kde x_1\neq x_2$ z D platí: $f(x_1)\neq f(x_2)$ . Nevím jak tuhle definici použít při matematické indukci.

Děkuji za každou radu :-)

vanok · 02. 10. 2011 16:37 — Editoval vanok (02. 10. 2011 17:08)

ahoj zuzik1

to mas ozaj prekvapivu metodu navhnutu v tvojom cviceni

Na jej riesenie klasickov metodov staci si uvedomit ze

$y= 1-\frac{3}{x+2}$ na definicnom odbore D funkcie f.

Za zaciatok prestuduj

$y= \frac{3}{x+2}$

A zvysok je ozaj mala zabava

Srdecne

vanok

zuzik1 · 02. 10. 2011 17:00

Takže když za x dosadím x=1 tak to platí.
Potom x=k+1 dostanu:
$y=\frac{3}{(k+1)+2}=\frac{3}{k+3}$
nějak sem se zasekla

LukasM · 02. 10. 2011 17:02

↑ zuzik1:
Nechápu co myslíš tím, že "to" platí. Co platí?

Jinak jsem docela zvědavý, jak tohle někdo dokáže indukcí.

vanok · 02. 10. 2011 17:05

zuzik1

na tento problem matematicka induckcia nie je dobra metoda

srdecne

vanok

zuzik1 · 02. 10. 2011 17:08

Mno když za x dosadím x=1 tak platí že trojka dělí trojku.
Abych pravdu, řekla mě by celkem zajímalo jestli se to dá vůbec indukcí dokázat popř. čím jiným to dokázat. On mi to poslal kámoš zda bych to neuměla dokázat (má u toho napsáno indukcí), tak nevím jestli opravdu to má dokázat indukcí nebo třeba sporem.

LukasM · 02. 10. 2011 17:19 — Editoval LukasM (02. 10. 2011 17:22)

↑ zuzik1:
Co má společného to jestli se nějaká čísla dělí s tím, jestli je naše funkce prostá? :-)

Pokud chceš dokázat prostotu, vezmeš si funkční hodnotu té funkce v nějakých dvou obecných bodech a zkoumáš, jestli náhodou z rovnosti takových funkčních hodnot už neplyne, že i ty dva body jsou stejné. To je to co znamená prostota. Funkce je prostá, když $\forall x,y\in D(f): f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$ . To je jen myslím nějaká obměněná implikace k tomu co jsi psala ty jako definici prostoty, akorát že v tomhle tvaru se to hodí k dokazování. Takže vyjdi z rovnosti $\frac{x-1}{x+2}=\frac{y-1}{y+2}$ a zkus odtud vyvodit, že x=y.

vanok · 02. 10. 2011 17:34 — Editoval vanok (02. 10. 2011 17:37)

Zuzik1

navrhnuta metoda Lukasom ja vyborna

Tu co som ja navrhol ma mozno vyhodu je jedndochsia na vypocty

Pozri

$\frac{3}{x1+2}=\frac{3}{x2+2} <=> x1=x2$ na D je okamzita

a z toho mas ze aj $1-\frac{3}{x+2}$ cize f ma takuto istu vlastnost

srdecne

vanok

zuzik1 · 02. 10. 2011 17:48 — Editoval zuzik1 (02. 10. 2011 17:50)

Mno ykusila jsem vyvodit pomocí matematické indukce že x=y a došla jsem k něčemu takovémuto
x=k a y=n pak x=k+1 a y=n+1
$\frac{k+1-1}{k+1+2}=\frac{n+1-1}{n+1+2}$
$\frac{k}{k+3}=\frac{n}{n+3}$
$kn+3k=kn+3n$
$k(n+3)=n(k+3)$
$\frac{n+3}{n}=\frac{k+3}{k}$
$\frac{n(1+\frac{3}{n})}{n}=\frac{k(1+\frac{3}{k})}{k}$
$1+\frac{3}{n}=1+\frac{3}{k}$
$\frac{3}{n}=\frac{3}{k}$
$3k=3n$
$k=n$

a jelikož k=n tak i x=y
a jestli byli moje výpočty správné tak jsem dokázala, že fce je prostá.

LukasM · 02. 10. 2011 18:04

↑ zuzik1:
Tohle ale není důkaz indukcí. Což je v pořádku, protože nevím jak by to indukcí mohlo jít dokázat. Problém je v tom, že si myslíš, že to důkaz indukcí je.

Jinak už na třetím řádku šlo odečíst na obou stranách $kn$ , vydělit trojkou, a bylo by hotovo. A samozřejmě nebylo potřeba přejmenovávat x na k a y na n, ani k nim přičítat ty jedničky.

zuzik1 · 02. 10. 2011 18:14

A můžu se teda zeptat jakým způsob důkazem to je? teda pokud se to dá nějak kloudně nazvat nebo je to jen důkaz matematické věty (definice) pro prostou funkci.
Děkuji za upozornění nějak jsem to přehlídla :-).

LukasM · 02. 10. 2011 18:29

↑ zuzik1:
Je to přímý důkaz toho co jsem napsal. A je důležité aby sis uvědomila, proč to tak je, a proč bylo zbytečné přičítat tam ty jedničky.

Důkaz indukcí funguje jinak. Používá se většinou tehdy, když má něco platit pro každé přirozené číslo (ačkoli v principu se dá i modifikovat, třeba na násobky 1/2 nebo třeba sudá čísla). Vyskytuje se tam jakýsi indukční předpoklad. Pak se ukazuje, že pokud něco platí pro n (to je ten předpoklad), tak už z toho plyne, že to musí platit i pro n+1. Pokud to tak je, tak stačí natvrdo pro nějaké N ukázat, že tvrzení platí (to je to "n=1"), a pak už je jasné, že pro N+1 to musí platit taky. A protože to platí pro N+1, tak to platí i pro N+2, atd.
To je nám tu ale k prdu, protože naše tvrzení se nedá vyslovit ve tvaru $\forall n\in N:\dots$ . Nebo si aspoň myslím že to nejde indukcí dokázat.

zuzik1 · 02. 10. 2011 18:35

Děkuju moc :-)

Matematické Fórum

#1 02. 10. 2011 16:21

Matematická indukce

#2 02. 10. 2011 16:37 — Editoval vanok (02. 10. 2011 17:08)

Re: Matematická indukce

#3 02. 10. 2011 17:00

Re: Matematická indukce

#4 02. 10. 2011 17:02

Re: Matematická indukce

#5 02. 10. 2011 17:05

Re: Matematická indukce

#6 02. 10. 2011 17:08

Re: Matematická indukce

#7 02. 10. 2011 17:19 — Editoval LukasM (02. 10. 2011 17:22)

Re: Matematická indukce

#8 02. 10. 2011 17:34 — Editoval vanok (02. 10. 2011 17:37)

Re: Matematická indukce

#9 02. 10. 2011 17:48 — Editoval zuzik1 (02. 10. 2011 17:50)

Re: Matematická indukce

#10 02. 10. 2011 18:04

Re: Matematická indukce

#11 02. 10. 2011 18:14

Re: Matematická indukce

#12 02. 10. 2011 18:29

Re: Matematická indukce

#13 02. 10. 2011 18:35

Re: Matematická indukce

Zápatí