Matematické Fórum

zuzule · 03. 10. 2011 16:02 — Editoval zuzule (03. 10. 2011 16:48)

Ahoj zasekla jsem se u jednoho příkladu nebo spíš nevím zda už jsem u výsledku nebo stím uhlem mám dělat ještě něco dál a nebo jsem to počítala úplně špatně.
Zadání zní takhle
obraz komplexního čísla $z=3-4i$ v Gaussově rovině svírá úhel s kladnou poloosou x úhel? na výběr mám tyto možnosti
a)60°
b)-300°
c)-30°
d) 300°
e)330°

Postupovala jsem takhle
$\mid{z}\mid=\sqrt{(3^2+4^2)}=5$
$cos\varphi=\frac{3}{5}$
$\varphi=53°$

Děkuju

((:-)) · 03. 10. 2011 16:17 — Editoval ((:-)) (03. 10. 2011 16:29)

$\mid{z}\mid=\sqrt{(3^2\color{red}+\color{black}4^2)}=5$

Phate · 03. 10. 2011 16:19

ve velikosti komplexniho cisla nema minus co delat a pak take ty jsi spocital(a) spatny uhel, uhel, ktery bude pocitat ma urcite vice nez 270 stupnu, nacrtni si to
btw, ty jsi holka nebo kluk?

Rumburak · 03. 10. 2011 16:28

↑ zuzule:

Když máš dáno k.č. $z=a+b\,\mathrm{i}$ , kde $|z| \ne 0$ , pak pro výpočet jeho argumentu $\alpha$ nutno hledat SPOLEČNÉ řešení OBOU rovnic

$\cos \alpha = \frac {a}{|z|}$ , $\sin \alpha = \frac {b}{|z|}$ .

zuzule · 03. 10. 2011 16:46

Jsem holka jsem to asik blbě napsala. Ve výpočtu jsem se jen přepsala jinak to na papíře mám počítáno s pluskem.↑ Rumburak: mám vypočítané oba úhly a jeden mi vyšel kladný a jeden záporný. Obrázek mám stejně jako ↑ ((:-)): a nevím, kde teda dělám chybu.

((:-)) · 03. 10. 2011 16:51 — Editoval ((:-)) (03. 10. 2011 18:39)

↑ zuzule:

$a=3$ $b=-4$

Hľadáš uhol, pre ktorý je kosínus kladný (súradnica x) a sínus záporný (súradnica y) - takýto uhol leží v IV. kvadrante .

Tam sa hodnoty počítajú $360° - \alpha$ , kde $\alpha \in \text{I. kvadrant}$ , u Teba $\alpha = 53^\circ$

zuzule · 03. 10. 2011 16:54

Takže výsledný úhel je nějakých 307° a co mám tedy vybrat jako správnou možnost?

((:-)) · 03. 10. 2011 16:58

↑ zuzule:

Myslím, že to, čo je najbližšie, teda 300°.

zuzule · 03. 10. 2011 17:03

↑ ((:-)): Děkuju za pomoc

Rumburak

↑ zuzule:
Máš hledat společné řešení rovnic

(1) $\cos \alpha = \frac {3}{5}$ ,
(2) $\sin \alpha = -\frac {4}{5}$ ,

stačí v intervalu $[0, 2\pi)$ .

Každá z obou rovnic má v tomto intervalu 2 řešení :
rovnice (1) v $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ a v $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ (I. a IV. kvadrant) ,
rovnice (2) v $\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ a v $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ (III. a IV. kvadrant) .

Vidíme, že společné řešení může být jedině to, které leží ve IV. kvadrantu.
Že je to u obou rovnic tentýž úhel, plyne z identity $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ a z průběhu funkcí sin, cos na intervalu $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ .

EDIT. Mezi tím to už vysvětlila ↑ ((:-)):, ale nechám to tu.