Matematické Fórum

Dvorka · 04. 10. 2011 10:05

Mám takovouto soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.b

-asinα-bcosβ=c
acosα+bsinβ=d

potřebuji vyjádřit α(alfa),b

už si to vůbec nepamatuju... poradí někdo jak na to? Dík :)

Rumburak

Přepišme soustavu do tvaru $a\sin \alpha + b \cos \beta = -c \\a\cos \alpha + b \sin \beta = d$ .
Jde o soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, jejíž maticí $M$ je $\sin \alpha , \cos \beta\\\cos \alpha, \sin \beta$ s determinantem

$D = \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta = - \cos(\alpha + \beta)$ .

Rozlišíme dva případy.

I. Případ $D \ne 0$ . Zde můžeme s úspěchem použít větu zvanou Cramerovo pravidlo :

Symboly $A, B$ označme po řadě determinanty matic $-c , \cos \beta\\d, \sin \beta$ , $\sin \alpha , -c\\\cos \alpha, d$ . Dle uvedené věty bude $a = \frac{A}{D}$ , $b = \frac{B}{D}$ .

II. Případ $D = 0$ , tj. $\cos(\alpha + \beta) = 0$ , neboli $\beta = -\alpha + (2k + 1)\,\frac {\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$ . Spočteme

$\sin \beta = \sin \left(-\alpha + (2k + 1)\,\frac {\pi}{2}\right) = \cos(-\alpha) \sin (2k + 1)\frac {\pi}{2} = (-1)^k \cos \alpha$ ,
$\cos \beta = \cos \left(-\alpha + (2k + 1)\,\frac {\pi}{2}\right) = -\sin(-\alpha) \sin (2k + 1)\frac {\pi}{2} = (-1)^k \sin \alpha$ .

Naše soustava pak dostane tvar

$a\sin \alpha + b (-1)^k \sin \alpha = -c \\a\cos \alpha + b (-1)^k \cos \alpha = d$ .

Hodnost matice této soustavy je menší než 2 (neboť D = 0), avšak vzhledem k trigonometrické identitě $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$
není menší než 1. Je tedy rovna 1. Aby tato soustava měla řešení, pak tutéž hodnost musí mít i rozšířená matice této soustavy,
to znamená, že některá z těchto rovnic musí být netriviální a ta zbývající jejím násobkem. Můžeme rozlišit dva takové případy:

a) $\cos \alpha = d = 0$ , potom $\sin \alpha = \pm 1 \ne 0$ a $a + b (-1)^k = - \frac{c}{\sin \alpha}$ (nekonečně mnoho řešení),

b) $\cos \alpha \ne 0$ , potom
$a\tan \alpha + b (-1)^k \tan \alpha = \frac {-c}{\cos \alpha} \\a \, + b (-1)^k = \frac{d}{\cos \alpha}$ ,
kde nutně $-c = d \tan \alpha$ - opět nekonečně mnoho řešení.

V ostatních případech, tj. když buďto $\cos \alpha = 0 \wedge d \ne 0$ nebo $\cos \alpha \ne 0 \wedge -c \ne d \tan \alpha$ , soustava nemá řešení.