Matematické Fórum

Azeret · 07. 10. 2011 15:01

Ahoj,

mám problém s úpravou při řešení dif. rce (pokud někdo máte pavel malý - optika str. 23).
Vychází z tvaru
$\left(\frac{\partial}{\partial z}-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} \right)\left(\frac{\partial}{\partial z}+\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} \right)E_j = 0$ ,
$E_j$ je fcí $z$ a $t$ (snad nikomu nevadí toto fyzikální značení).

Následné autor zavede nové proměnné $\alpha$ , $\beta$ :
$\alpha = ct - z$
$\beta = ct + z$

a dále už jen uvádí
$\frac{\partial}{\partial t} = c \frac{\partial}{\partial \alpha} + c \frac{\partial}{\partial \beta}$
$\frac{\partial}{\partial z} = -c \frac{\partial}{\partial \alpha} + c \frac{\partial}{\partial \beta}$

Ta úvodní rovnice v tom asi nehraje roli. Jde mi pouze o přechod z jedněch do druhých proměnných.
Vůbec nevím, jak k tomu dospěl. Popravdě ani nevím jakou matematickou úpravou dostanu pouze $\frac{\partial}{\partial x}$ - to jsem vždy brala
jako operátor . . ..

Díky za každou radu.

Pavel Brožek

↑ Azeret:

Ahoj.

Vážně Pavel Malý? To by byl už druhý Malý, který se zabývá optikou a napsal o tom knihu :-). Na matfyzu máme profesora Petra Malého.

Množinu bodů v $\mathbb{R}^2$ můžeme popisovat v různých souřadnicích. Jedna sada může být z a t, jiná sada $\alpha$ a $\beta$ . Když máme bod $x\in\mathbb{R}^2$ (nebo obecněji bod na dvourozměrné varietě), tak ho můžeme zapsat v souřadnicích z a t jako dvojici čísel $(z(x),t(x))$ nebo v souřadnicích $\alpha$ a $\beta$ jako jinou dvojici čísel $(\alpha(x),\beta(x))$ . Mezi souřadnicemi můžeme přecházet, v tomto případě pomocí vztahů

$\alpha(x) = ct(x) - z(x)\nl \beta(x) = ct(x) + z(x).$

(x v závorce se většinou vynechává, protože je obvykle zřejmé, že jde o souřadnice jednoho bodu.)

Mějme nějakou reálnou (resp. komplexní) funkci $f(x)$ , která je definována pro všechna $x\in\mathbb{R}^2$ (pro jednoduchost). V jedněch souřadnicích z a t ji budeme psát jako $f_{zt}(z,t)$ a v druhých jako $f_{\alpha\beta}(\alpha,\beta)$ (všimni si, že $f_{zt}$ a $f_{\alpha\beta}$ nejsou nutně stejné funkce – když vezmeme např. $f_{zt}(0,1)$ a $f_{\alpha\beta}(0,1)$ , můžou to být úplně jiná čísla, protože dvojice $(\alpha,\beta)=(0,1)$ neodpovídá bodu $(z,t)=(0,1)$ , ale bodu $(z,t)=\left(\frac12,\frac1{2c}\right)$ ).

Mělo by nyní být zřejmé, že platí $f(x)=f_{zt}(z(x),t(x))=f_{\alpha\beta}(\alpha(x),\beta(x))$ .

Podívejme se, jak vypadá derivace funkce f podle z (používám pravidlo pro derivaci funkce více proměnných – řetízkové pravidlo):

$\frac{\partial f(x)}{\partial z(x)}=\frac{\partial f_{\alpha\beta}(\alpha(x),\beta(x))}{\partial z(x)}=\frac{\partial f_{\alpha\beta}(\alpha(x),\beta(x))}{\partial \alpha(x)}\cdot\frac{\partial \alpha(x)}{\partial z(x)}+\frac{\partial f_{\alpha\beta}(\alpha(x),\beta(x))}{\partial \beta(x)}\cdot\frac{\partial \beta(x)}{\partial z(x)}$

Derivace $\frac{\partial \alpha(x)}{\partial z(x)}$ a $\frac{\partial \beta(x)}{\partial z(x)}$ ale známe z definice souřadnic $\alpha$ a $\beta$ , je to -1 a +1. Dostáváme tedy

$\frac{\partial f(x)}{\partial z(x)}=-\frac{\partial f_{\alpha\beta}(\alpha(x),\beta(x))}{\partial \alpha(x)}+\frac{\partial f_{\alpha\beta}(\alpha(x),\beta(x))}{\partial \beta(x)}=\left[-\frac{\partial}{\partial \alpha(x)}+\frac{\partial}{\partial \beta(x)}\right]f_{\alpha\beta}(\alpha(x),\beta(x))=\left[-\frac{\partial}{\partial \alpha(x)}+\frac{\partial}{\partial \beta(x)}\right]f(x)$

Vypustíme-li tedy funkci f, která může být libovolná, dostáváme (pro krásu už vynechávám x)

$\frac{\partial}{\partial z}=-\frac{\partial}{\partial \alpha}+\frac{\partial}{\partial \beta}.$

Řekl bych tedy, že tam máš chybu, asi ses přepsala :-).

Rozepsal jsem se poměrně podrobně, ale doufám, že to k něčemu bude. Pokud studuješ matfyz, tak se dobré pochopení různých soustav souřadnic a přechodů mezi nimi bude určitě hodit v dalším studiu, např. v teorii relativity. Jen doufám, že tomu dobře rozumím já a že jsem to napsal srozumitelně. :-)

Azeret · 07. 10. 2011 20:09

↑ Pavel Brožek:
A ano, je to Petr (znám se s jeho synem Pavlem - proto ten přepis-, který tedy také dělá optiku na MFF, ale knihu zatím nenapsal :) ).

úplně perfektní! Děkuju moc - mám to zatím zběžně přečtené, ale je to napsané velmi
podrobně, zkusím si to rozepsat a snad to bude ok.

Jsem na MFF, a veřím, že je to velmi užitečné, ale zatím sme to nikde pořádně nebrali a nenašla jsem literaturu,
ve které by se o tom dalo něco přečíst - dnes sme to řešili ve škole celý den a ani cvičící na optiku nám s tím
neporadil :( - takže ještě jenou díky.

Azeret · 07. 10. 2011 20:24

↑ Pavel Brožek:
Tak úplná paráda!
Teď mi to přijde dokonce úplně jasné!
Ještě jednou díky :)

Pavel Brožek · 07. 10. 2011 20:32

↑ Azeret:

Jen abych to ještě shrnul, tak při přechodu z jedněch souřadnic $x^i$ do nových souřadnic $y^j$ platí

$\frac{\partial}{\partial y^i}=\frac{\partial x^j}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^j}$

(na pravé straně se sčítá se přes j – Einsteinova sumační konvence)

Tenhle vztah právě vychází z derivování složené funkce. Zjistit tedy tyto převodní vztahy mezi derivacemi není nic složitého :-).

Matematické Fórum

#1 07. 10. 2011 15:01

úprava parciální diferenciální rovnice

#2 07. 10. 2011 15:13 — Editoval Pavel Brožek (07. 10. 2011 16:17)

Re: úprava parciální diferenciální rovnice

#3 07. 10. 2011 20:09

Re: úprava parciální diferenciální rovnice

#4 07. 10. 2011 20:24

Re: úprava parciální diferenciální rovnice

#5 07. 10. 2011 20:32

Re: úprava parciální diferenciální rovnice

Zápatí