Matematické Fórum

pizet · 27. 06. 2010 14:15

Potrebujem len trocha nakopnúť, ako by sa takýto výrok dokázal matematickou indukciou:
$\forall n \in N: 6 | (n^3 + 5n)$

Viem, že najprv odskúšam pre $n = 1$ , potom spravím indukčný predpoklad, kde predpokladám pravdivosť výroku pre $n = k$ a na základe toho sa to pokúsim dokázať pre $n = k + 1$ . Myslel som si, že jednoducho dosadím $k + 1$ za $n$ , upravím a výjmem 6 a bude, ibaže to je kravina. Asi by som to mal spraviť nejako s tým indukčným predpokladom, ibaže tejto časti celkom nechápem.

Vedel by niekto pomôcť?

Ďakujem (:.

Stýv · 27. 06. 2010 14:25

ano, dosadíš k+1, dostaneš $k^3+3 k^2+8 k+6=(k^3+5k)+(3k^2+3k)+6$ . první a třetí člen jsou zřejmě dělitelný šesti, druhý taky, jelikož $3k^2+3k=3k(k+1)$ a buď $k$ nebo $k+1$ je sudé

pizet · 27. 06. 2010 14:46 — Editoval pizet (27. 06. 2010 14:50)

Tak po toto $k^3+3 k^2+8 k+6$ som dostal, tak som to myslel správne, ok. Ibaže mňa zmiatlo to, že neviem vyňať 6 pred zátvorku z celého.

A teda ak som to správne pochopil tak ten prvý člen je deliteľný 6 na základe predpokladu a posledný( 6) to je jasné.
Máme isté, že $6|[3k(k+1)]$ ?

EDIT// Ježiš, jasné, že je! Ďakujem (:.

jarrro · 27. 06. 2010 14:54

↑ pizet: $6|3k\left(k+1\right)$ lebo číslo je deliteľné 6 práve vtedy keď je deliteľné súčasne tromi a dvomi tromi je zrejme deliteľné a z dvoch po sebe idúcich čísel je jedno párne teda súčin je tiež párny

pizet · 27. 06. 2010 17:54 — Editoval pizet (27. 06. 2010 18:04)

↑ jarrro:
Jasné, jasné, veď som napísal, že jasné ale aj tak dík (:.

Nechápem inak ako mi riešenie nemohlo napadnúť hneď... je to banalita...

pizet · 28. 06. 2010 17:36

Nechcem zakladať novú tému ale mám tu znava takýto príklad:
$\forall n \in N 3|(4^n + 5)$

No takže dokázal som, že platí pre $n=1$ aj pre $n=k$ som spravil predpoklad a keď dokazujem pre $n=k+1$ tak mi vznikne výraz $4^{k+1} + 5$ .
Ako to upraviť? Dúfam, že t zase nebude taká banalita, lebo ma porazí.

Ďakujem.

Olin · 28. 06. 2010 17:47

$4^{k+1} + 5 = 4 \cdot (4^k + 5 - 5) + 5 = \dots$

pizet · 28. 06. 2010 18:59

Ježiš... prečo mi takáto vec nikdy nenapadne?

Dík.

Mr.Pinker · 29. 06. 2010 00:56

↑ Olin:
$4^{k+1} + 5 = 4 \cdot (4^k + 5 - 5) + 5 = \dots$
proč je v tom to přičtení a odečtení pětky ? sice to na výsledek nemá na konci žádnou změnu ale není prostě $4^{k+1}$ jenom $4*4^k$

zdenek1 · 29. 06. 2010 07:17

↑ Mr.Pinker:
Protože z toho potřebuješ vytknou trojku.
$4^{k+1} + 5 = 4 \cdot (4^k + 5 - 5) + 5 = 4 \cdot (4^k + 5)-15$
První sčítanec je dělitelný třemi podle předpokladu, druhý je snad zřejmý.

Radisss

Zdravim, nechcel som zakladat novu temu a tu uz matematicka indukcia je, potrebujem pomoct s tymto prikladom $5^{n+1}-4^n$ mam dokazat ze je delitelne 21, skusal som rozne ale vzdy mi tam ostane bud $4^n$ alebo $5^{n+1}$

((:-)) · 08. 10. 2011 18:03

↑ Radisss:

1. Značku máš "ženskú" a hovoríš v mužskom rode.

2. Na fóre platia určité pravidlá, ktoré si si zrejme neprečítal a svoj príspevok si dal do témy, ktorá už je vyriešená.

Znamená to, že na Tvoju tému sa pravdepodobne pozrie iba minimum riešiteľov, lebo načo prispievať do vyriešených tém, však?

Založ si vlastnú tému...

To $5^{k+1}$ , ktoré (aspoň mne) "ostáva" by možno mohlo byť deliteľné číslom 21...

Matematické Fórum

#1 27. 06. 2010 14:15

Matematická indukcia

#2 27. 06. 2010 14:25

Re: Matematická indukcia

#3 27. 06. 2010 14:46 — Editoval pizet (27. 06. 2010 14:50)

Re: Matematická indukcia

#4 27. 06. 2010 14:54

Re: Matematická indukcia

#5 27. 06. 2010 17:54 — Editoval pizet (27. 06. 2010 18:04)

Re: Matematická indukcia

#6 28. 06. 2010 17:36

Re: Matematická indukcia

#7 28. 06. 2010 17:47

Re: Matematická indukcia

#8 28. 06. 2010 18:59

Re: Matematická indukcia

#9 29. 06. 2010 00:56

Re: Matematická indukcia

#10 29. 06. 2010 07:17

Re: Matematická indukcia

#11 08. 10. 2011 17:49 — Editoval Radisss (08. 10. 2011 18:11)

Re: Matematická indukcia

#12 08. 10. 2011 18:03

Re: Matematická indukcia

#13 25. 10. 2015 20:24 Příspěvek uživatele Vanesa byl skryt uživatelem Vanesa.

Zápatí