![$
\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n^2]{\prod_{k=1}^{n}{n\choose k}}.
$](/mathtex/b5/b5941449bb12344bc0f66127042d245e.gif "kopírovat do textarea")
#2 16. 02. 2011 13:20 — Editoval Pavel (16. 02. 2011 13:21)
Re: Limita s binomickými koeficienty
↑ Marian:
Zatím jsem našel horní omezení
![$\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n^2]{\prod_{k=1}^{n}{n\choose k}}\leq \lim_{n\to +\infty}\sqrt[n^2]{\prod_{k=1}^{n}\sum_{i=0}^n{n\choose i}}=\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n^2]{\prod_{k=1}^{n}2^n}=\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n^2]{2^{n^2}}=2.$](/mathtex/98/98cc0ad230b401f75b340f965361a4b2.gif "kopírovat do textarea")
Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
#3 16. 02. 2011 16:16 — Editoval FailED (16. 02. 2011 16:33)
Re: Limita s binomickými koeficienty
je posloupnost kladných členů a existuje 
, pak ![$\lim \sqrt [n] {a_n}=\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}$](/mathtex/e5/e5a723be102b0531af68e25d6e931d77.gif "kopírovat do textarea")
.![$a_n:=\sqrt [n]{\prod_{k=1}^{n}{n\choose k}}$](/mathtex/81/8159adfd51ed36d3b12e67245e44e0a9.gif "kopírovat do textarea")
, třeba pomocí Pavlova odhadu se ukáže, že 
rostoucí a 
.![$L &:=\lim\sqrt[n^2]{\prod_{k=1}^{n}{n\choose k}} = \lim\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \sqrt [n] {a_n} \\
&= \lim \sqrt [n+1] {\frac{((n+1)!)^{n+1}}{\prod_{k=1}^{n+1}(k!)^2}}\cdot\sqrt [n] {\frac{(n!)^{n}}{\prod_{k=1}^{n}(k!)^2}} \\
&=\lim \sqrt [n(n+1)] {\frac{\prod_{k=1}^{n}(k!)^2\cdot (n+1)^{n(n+1)}}{((n+1)!)^{2n}}} \\
&=\lim \frac{n+1}{\sqrt [n+1] {(n+1)!}}\cdot \lim \sqrt [n(n+1)]{\frac{1}{(n+1)^n}}\cdot \lim \sqrt[n+1]{ \frac{1}{a_n} } \\
&= \text{e} \cdot \frac{1}{L} $](/mathtex/d8/d87a55489402aa014703862e4cb257b0.gif "kopírovat do textarea")
.
má limitu, zkusím se na to ještě podívat. Offline