Matematické Fórum

bezdek36 · 09. 10. 2011 20:26

Ahoj prosím o pomoc s příkladem. Mam dokázat matematickou indukcí že platí : 1+2^2+3^2+......n= [(2n+1)*(n+1)*n] / 6 . Když si dosadím jakýkoliv číslo tak to vychází ale nedokážu to vyjádřit obecně.

vanok · 09. 10. 2011 21:13 — Editoval vanok (10. 10. 2011 22:01)

Ahoj ↑ bezdek36:

Tvoja uloha je dokazat matematickou indukciov vyrok P(n) :
$1+2^2+3^2+......n^2= \frac{(2n+1)(n+1)n}{6}$

Prva etapa (iniciacia) over P(0) .... to znamena v ze P(n) polozis n=0 a otestujes ci ti to rovnost. Ak ano da sa ist na
Druhu etapu (indukcny krok): co znamena ze dokazes P(k) => P(k+1) ( to znamena predpoklat ze P(k) plati a vdaka tomu dokazes ze mas aj P(k+1) )
Zaver ( to je posledna etapa): dopln to ....

Dufam ze tento navod ti pomoze

Srdecne Vanok

bezdek36

↑ vanok: ty první 2 kroky mam ale nechápu jak z toho třetího kroku poznam ten dukaz že to tak platí. Jinak děkuji

vanok · 09. 10. 2011 21:30

↑ bezdek36:

ano ten posledny krok je konkluzia.
Napis pre istotu ako si urobil ten druhy krok.

Srdecne Vanok

bezdek36 · 09. 10. 2011 21:42

↑ vanok: 1+2^2+ .... k = ((2k+1)*(k+1)*k) / 6 ........ po uprave (2k^3+ 3k^2+ k) /6 --- to predpokladam

a pak pro (k+1)

1+2^2+ .... (k+1) = ((2k+3)*(k+2)*(k+1)) / 6 ....... po uprave (2k^3+ 9k^2+ 13k+ 6) /6

vanok · 09. 10. 2011 21:56 — Editoval vanok (10. 10. 2011 19:08)

↑ bezdek36:
treba to zlepsit.
Spolu to dokazeme
Spravne pises ze predpokladas P(k) [poznamka na vyjadrovanie je uzitocne menovat vyroky... to da lepsi prehlad]
cize $1+2^2+3^2+......k^2= \frac{(2k+1)(k+1)k}{6}$
A teraz ti ostava etapa ze P(k+1) plati
A tam to treba zlepsit a doplnit
Vyjadrime $1+2^2+ ... + k^ 2+(k+1)^2=$ tu pouzi co predpokladas cize P(k) a tak
$1+2^2+ ... + k^2 +(k+1)^2 = [1+2^2+ ... + k ^2]+(k+1)^2 = \frac{(2k+1)(k+1)k}{6} +(k+1)^2=$

Teraz tvoja praca je upravit toto tak ze po vypostoch dostanes vyrok P(k+1), cize taky ze v P(n) sa nahradi n , z k+1

Tak sa daj do prace!!!!

Inac ze si vynasobil vsetki faktory to je zbytocna unava, to netreba robit

Srdecne Vanok

bezdek36

↑ vanok: tak jsem to dopočítal

$1+2^2+ ... + k +(k+1) = [1+2^2+ ... + k ]+(k+1) = \frac{(2k+1)(k+1)k}{6} +(k+1)= \frac{(2k^3 + 3k^2 + 7k + 6}{6}$

ale rozložit to na součin stejnej jako je to když za n dosadim (k+1) nejde a nebo dneska nemam svuj den ... nevadí ale i tak děkuju za snahu mi to vysvětlit

vanok · 09. 10. 2011 22:38

↑ bezdek36:

Skor si vsimni ze spolocny faktor je k+1

A nechaj ten posledny vyraz v forme sucinu

Ked to dokoncis napis

Srdecne Vanok

bezdek36 · 10. 10. 2011 17:13

↑ vanok: $\frac{(2k^3 + 3k^2 + 7k + 6}{6}$

když já nevim jak tohle rozložit na součin nejde mi to v tom bude ten problem :)

bezdek36

↑ bezdek36:

nebo jestli myslíte takto

$\frac{(2k^3 + 3k^2 + 7k + 6)}{6} = \frac{(2k+1)(k+1)k + 6(k+1)}{6}$

vanok · 10. 10. 2011 19:15

Ahoj ↑ bezdek36:

Skor treba vynat faktor (k+1)

$\frac{(2k+1)(k+1)k + 6(k+1)^2}{6} = (k+1)\frac{(2k+1)k+6(k+1)}{6}$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Lahko sa da overit ze :

$(2k+1)k+6(k+1)= (2k+3)(k+2) = [2(k+1)+1][(k+1)+1]$

Toto mozes pouzit na dokoncenie dokazu

Srdecne Vanok

Bezdek6 · 10. 10. 2011 19:27

↑ vanok: děkuju tak v tom byla ten jediný problem že jsem tu závorku neumocnil na druhou

vanok · 10. 10. 2011 19:32 — Editoval vanok (10. 10. 2011 19:33)

Ahoj ↑ bezdek36:

akoze sa ti odpojil internet ti dam hned cely vypocet

$1+2^2+ ... + k^2 +(k+1)^2 = [1+2^2+ ... + k ^2]+(k+1)^2 = \frac{(2k+1)(k+1)k}{6} +(k+1)^2=$

$\frac{(2k+1)(k+1)k + 6(k+1)^2}{6} = (k+1)\frac{(2k+1)k+6(k+1)}{6}=\frac{[2(k+1)+1][(k+1)+1][(k+1)]}{6}$

a z toho mame

$1+2^2+ ... + k^2 +(k+1)^2 =\frac{[2(k+1)+1][(k+1)+1][(k+1)]}{6}$ P(n+1)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Konkluzia: Matematickou indukciou sme dokazali ze P(n) plati pre vsetki prirodzene cisla n.

Srdecne Vanok

vanok · 10. 10. 2011 19:35

↑ Bezdek6:

Ano treba byt velmi pozorny na take "MALICKOSTI"
Robis vsetko ako treba ale ta chyba to cele pokazi

Vanok

iNeedUrHelpXD · 12. 10. 2011 18:43

ahoj, mohl bych se ještě zeptat, jak ze Sumy k^2 dostanu $\frac{(2n+1)(n+1)n}{6}$ ?
díky moc

((:-)) · 12. 10. 2011 18:48 — Editoval ((:-)) (12. 10. 2011 18:51)

↑ iNeedUrHelpXD:

Myslím, že to je indukčný predpoklad.

Matematická indukcia:

Ukážeme platnosť vzťahu pre najmenšie n.

Predpokladáme platnosť pre nejaké k.

Na základe tohto predpokladu d o k á ž e m e pre k+1.

iNeedUrHelpXD · 12. 10. 2011 18:57

jo aha, tak díky už je mi to celý jasný!

Matematické Fórum

#1 09. 10. 2011 20:26

příklad řešený matematickou indukcí

#2 09. 10. 2011 21:13 — Editoval vanok (10. 10. 2011 22:01)

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#3 09. 10. 2011 21:24 — Editoval bezdek36 (09. 10. 2011 21:24)

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#4 09. 10. 2011 21:30

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#5 09. 10. 2011 21:42

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#6 09. 10. 2011 21:56 — Editoval vanok (10. 10. 2011 19:08)

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#7 09. 10. 2011 22:31 — Editoval bezdek36 (09. 10. 2011 22:32)

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#8 09. 10. 2011 22:38

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#9 10. 10. 2011 17:13

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#10 10. 10. 2011 17:39 — Editoval bezdek36 (10. 10. 2011 17:39)

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#11 10. 10. 2011 19:15

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#12 10. 10. 2011 19:27

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#13 10. 10. 2011 19:32 — Editoval vanok (10. 10. 2011 19:33)

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#14 10. 10. 2011 19:35

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#15 12. 10. 2011 18:43

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#16 12. 10. 2011 18:48 — Editoval ((:-)) (12. 10. 2011 18:51)

Re: příklad řešený matematickou indukcí

#17 12. 10. 2011 18:57

Re: příklad řešený matematickou indukcí

Zápatí