Matematické Fórum

c87 · 01. 07. 2008 23:44

Nevim si s tymto prikladem vubec rady,muzete mi pomoct jak to rozlozit...
$\int\frac{2x^3-3x-38}{(x+2)(x^2+9)}$

kaja.marik · 01. 07. 2008 23:54

Neni ryze lomena takze roznasobit zavorku ve jmenovateli, podelit, zustane konstanta a ryze lomena funkce. Jak vypada rozklad jmenovatele na součin víme, takze piseme parcialni zlomky A/(x+2) a (Bx+C)/(x^2+9)

Pro postup vypoctu rozkladu pomuze tohle a pro vysledek rozkladu a dokonceni integrace zase tohle
-----------------------------------------------
Zdeňa zlobí a Kája jí pomáhá. Už i pan lesní dnes řekl: „Mně se zdá, že budete dnes biti oba!“
„To je všechno jen proto, že pořád prší, vzácný pane,“ vysvětloval Kája.

c87 · 01. 07. 2008 23:56

jo super,dík

Marian · 02. 07. 2008 00:06

↑ c87:
Je to klasickz priklad na integraci racionalni funkce. Postupuje se takto:

(a) Je-li stupen polynomu v citateli vetsi nebo roven ve jmenovateli, pak provedes castecne deleni polynomu v citateli polynomem ve jmenovateli. Za timto ucelem nejprve roznasobis dve zavorky ve jmenovateli. Vyjde ti
$2-\frac{4x^2+21x+74}{(x+2)(x^2+9)}.$

(b) Nyni nasleduje samotny rozklad na parcialni zlomky, ktery se provadi u racionalnich funkci, kde stupen polynomu v citateli je mensi nez stupen polynomu ve jmenovateli. Budes predpokladat (podle vety o rozkladu na parc. zlomky)
$\frac{4x^2+21x+74}{(x+2)(x^2+9)}=\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2+9}.$

Najdes koeficienty A, B a C. Jakym zpusobem asi vis; pokud nikoliv, zkus najit neco na webu nebo ve tvych zapiscich z prednasek nebo cviceni. Pro kontrolu vyjde

A = 48/13,
B = -4/13,
C = 265/13.

(c) Pro plati
$\int\frac{2x^3-3x-38}{(x+2)(x^2+9)}=\int\left (2-\frac{48}{13(x+2)}-\frac{4x+256}{13(x^2+9)}\right\,\mathrm{d}x.$

Toto rozdelis na tri integraly (je jasne na jake). Prvni dva zintegrujes velice snadno. Treti z nich budes resit tak, ze jej rozdelis na dva integraly:
$\int\frac{4x+256}{13(x^2+9)}\mathrm{d}x=\frac{4}{13}\int\frac{x}{x^2+9}\mathrm{d}x+\frac{256}{13}\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2+9}.$
Prvni z uvedenych integralu resis substituci x^2=t (povede to na logaritmus), druhy z nich mas bud jako vzorec, nebo se relativne snadno prevede linearni substituci x=3t na integral, ktery vede na arkustangens.

(d) Celkove pak (opet pouze pro kontrolu) dostanes
$\int\frac{2x^3-3x-38}{(x+2)(x^2+9)}=2x-\frac{2}{13}\ln (x^2+9)-\frac{265}{39}\arctan\frac{x}{3}-\frac{48}{13}\ln (x+2).$

Integracni konstantu jsem zanedbal.

c87 · 02. 07. 2008 00:30

↑ Marian:

aha tak sem se nejak zasek pri tom deleni, co je to provest castecne deleni polynomu ?

c87 · 02. 07. 2008 00:39

aha tak to castecne uz sem pochopil ... a keby prve cislo nebolo 2x^3 ale bolo by 2x^2 tak by se to muselo taky castecne delit?

jelena · 02. 07. 2008 00:39

↑ c87:

Zdravim :-)

to je deleni mnohoclenu mnohoclenem, pri kterem zustava zbytek po deleni - podrobne treba tady

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=44

OK?

jelena · 02. 07. 2008 00:42 — Editoval jelena (02. 07. 2008 00:42)

c87 napsal(a):
aha tak to castecne uz sem pochopil ... a keby prve cislo nebolo 2x^3 ale bolo by 2x^2 tak by se to muselo taky castecne delit?

To by neslo castecne delit (ani necastecne) - jelikoz nejvyssi mocnina citatele musi byt stejna nebo vetsi, nez jmenovatele. V jmenovateli v tomto konkretnim prikladu mame na treti.

OK?

c87 · 02. 07. 2008 00:44

jo uz to trochu chapu, a keby v citateli bolo na druhou tak se to hned rozklada na parcialne zlomky?

jelena · 02. 07. 2008 00:46

↑ c87:

To castecne deleni je pro usnadneni vypoctu (neco jako uprava vyrazu). Pokud uz neni co upravovat a neni mozne pouzit neco jineho, tak se to rozlozi rovnou.

Matematické Fórum

#1 01. 07. 2008 23:44

rozklad na Parcialne zlomky

#2 01. 07. 2008 23:54

Re: rozklad na Parcialne zlomky

#3 01. 07. 2008 23:56

Re: rozklad na Parcialne zlomky

#4 02. 07. 2008 00:06

Re: rozklad na Parcialne zlomky

#5 02. 07. 2008 00:30

Re: rozklad na Parcialne zlomky

#6 02. 07. 2008 00:39

Re: rozklad na Parcialne zlomky

#7 02. 07. 2008 00:39

Re: rozklad na Parcialne zlomky

#8 02. 07. 2008 00:42 — Editoval jelena (02. 07. 2008 00:42)

Re: rozklad na Parcialne zlomky

c87 napsal(a):

#9 02. 07. 2008 00:44

Re: rozklad na Parcialne zlomky

#10 02. 07. 2008 00:46

Re: rozklad na Parcialne zlomky

Zápatí