Matematické Fórum

archipatelin

Dobry den,
nevim si rady s naslednou soustavou diferencialnich rovnic:
$\partial_{x}{B}=e^{-Ht}\partial_{t}{A}\neq{0};\;\;\;H\neq{0}$
$\partial_{x}{A}=e^{-Ht}\partial_{t}{B}$
$(\partial_{t}{A})^2-(\partial_{t}{B})^2=H^2A^2,$
kde a $A(t,x)$ a $B(t,x)$ jsou nenulove realne funkce dvou realnych promennych diferencovatelne aspon do druheho radu vcetne a
$H$ je nenulova realna konstanta.

Nevite nekdo jak tuto soustavu resit?

Pro $H=0$ jsem reseni nalezl, poruchovym rozvojem jsem se nikam nedostal. Je to fyzikalni uloha a zjineho fyzikalniiho duvodu s ni souvisejicim ma zaruceno, ze reseni je analyticke (=da se vyjadrit ve forme vzorce).

lukaszh · 08. 10. 2011 16:51

↑ archipatelin:

Príliš sa v tom neorientujem a neviem, nakoľko budú uvedené operácie korektné, ale.. Z predpokladu $A,B\in C^{2,2}$ môžeme prvú aj druhú rovnicu derivovať. Prvú parciálne podľa x, druhú podľa t.

$\begin{array}{lrcl}(1)&\;\partial_{xx}^2B&=&e^{-Ht}\partial_{xt}^2A\\ (2)&\;\partial_{tx}^2A&=&-He^{-Ht}\partial_{t}B+e^{-Ht}\partial_{tt}^2B\end{array}$

Funkcia A je dostatočne hladká na to, aby platila veta o zameniteľnosti derivácií

$\frac{\partial^2B}{\partial x^2}=-He^{-2Ht}\frac{\partial B}{\partial t}+e^{-2Ht}\frac{\partial^2B}{\partial t^2}$

To je rovnica, ktorá by mohla byť riešiteľná. Metódy nepoznám. Keby som aj uvažoval, že predchádzajúci postup je správny, tak rovnako môžem dostať rovnicu pre A. Tretia rovnica zo zadania bude prirodzene splnená, alebo vôbec nebude splnená. Zdá sa mi, že tri rovnice sú priveľa. Rád sa ale poučím ako riešiť niečo podobné.

archipatelin

Mozna by nektre(mu) z vas pomohl jak jsem k te soustave dospel.

Hledam isometrie deSitterova prostorucasu, tj. prostorocas splnující vakuovou einsteinovu rovnici s kladnou kosmologickou konstantou
$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+\Lambda{}g_{\mu\nu}=0,\mbox{ kde }\Lambda\equiv{}3H^2>0.$
Resenim ve tvaru infitizimalni prostorocasoveho intervalu je
$ds^2=-dt^2+e^{-2Ht}\left(dx^2+dy^2+dz^2\right)$ .
Pro $H=0$ toto reseni prechazi do klasickeho minkowskeho intervalu specialni relativity.

Isometrie jsou takove transformace souradnic jenz ponachavaji metriku co do formy invariatni $d\tilde{s}^2=ds^2$ .
Konkretne na prikladu minkowskeho metriky (pro zjednoduseni se omezime na 2D): $-d\tilde{t}^2+d\tilde{x}^2=-dt^2+dx^2$
Mejme obecnou regularni transformaci souradnic
$t\rightarrow\tilde{t},\;\;x\rightarrow\tilde{x}$ ,
tedy
$\tilde{t}\equiv{}A(t,x),\;\;\tilde{x}\equiv{}B(t,x);\mbox{ Jakobian: }J=A_tB_x-A_xB_t\neq{0},$
kde A,B jsou 'dostatecne' hladke funkce.

Mejme minkowskeho interval
$d\tilde{s}^2=-d\tilde{t}^2+d\tilde{x}^2$
provedeme transformaci souradnic a dostaneme
$d\tilde{s}^2=-(A_t^2-B_t^2)dt^2+(-A_x^2+B_x^2)dx^2+2(B_tB_x-A_tA_x)dtdx$ .
Isometrie pozaduje, aby
$d\tilde{s}^2=-dt^2+dx^2=ds^2.$
Tedy isometrie jsou takove transformace co splnuji soustavu rovnic
$A_t^2-B_t^2=1$
$A_x^2+B_x^2=1$
$B_tB_x-A_tA_x=0$ .
Uplnym resenim teto soustavy jsou Lorentzovy transformace s translaci ve 2D.
Reseni ma 3 volne parametry (jeden pro posun v souradnici t, druhy pro posun v x a tretim je v/c - rychlost (boost)).

Da se ukazat ze prostory s konstatni krivosti, jako je deSitteruv ci minkowskeho jsou prostory s nejvyssi moznou symetrii.Takove prostory maji maximalni pocet nezavyslich killingovych vektoru pro pripad 2D jsou to prave 3 volne parametry isometrie!

Aplikaci tohoto postupu na deSitteruv interval dostanu onu drivejsi soustavu rovnic. (provedl jsem substituci $A=\frac{1}{H}e^{HA}$ a nejake upravy)

Proto ocekavam, ze reseni je analyticke a navic obsahuje prave 3 konstanty - volne parametry. Reseni tedy neobsahuje nejake libovolne funkce jako de treba nachazeji v reseni vlnove rovnice ( $f(x+t)+g(x-t)$ ).

Matematické Fórum

#1 08. 10. 2011 09:52 — Editoval archipatelin (08. 10. 2011 10:02)

Soustava diferencialnich rovnic

#2 08. 10. 2011 16:51

Re: Soustava diferencialnich rovnic

#3 11. 10. 2011 10:13 — Editoval archipatelin (11. 10. 2011 10:17)

Re: Soustava diferencialnich rovnic

Zápatí