Matematické Fórum

kiki · 02. 07. 2008 19:20

ahoj,

učím se na zkoušku a narazila jsem na tyto dva příklady

1. mám vypočítat objem rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce ohraničeného osou x a danou křivkou, které je popsaná parametricky + GRAF

x=t^2
y=t-t^3/3 (0,odm3)

2. obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky kolem osy x, zadané parametricky + GRAF
x=e^t*sint
y=e^t*cost (0,pi/2)

thriller

Ahoj, ten první příklad se už tady jednou víceméně počítal: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=3618

Jestliže "t" jde od nuly do $\sqrt{3}$ , pak x jde od nuly do trojky. A když si z x=t^2 vyjádřím t a dosadím ho do druhé rovnice, dostanu $y = \sqrt{x} - \frac{x \sqrt{x}}{3}$ . Teď už lze použít středoškolský vzorec na výpočet objemu $V = \pi \int_0^3 y^2(x) dx$ .

Tady je obr. zadané křivky

Druhý příklad bych počítal takto. Zapíšu si parametricky rovnici plochy, jejíž obsah mám počítat.
Obr. křivky je zde:

Parametrizace rotační plochy bude $f(t,u) = (\exp(t) sin(t), \exp(t) cos(t) cos(u), \exp(t) cos(t) sin(u))$ kde pro parametry t a u platí: $t \in (0, \frac{\pi}{2})$ a $u \in (0,2 \pi )$
a obsah takové plochy bude $S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \, \, \int_0^{2 \pi} \parallel \frac{Df}{Dt} \times \frac{Df}{Du} \parallel dudt$ , kde výraz v integrandu se dá vyjádřit také jako odmocnina z determinantu metrického tenzoru, tedy $S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \, \, \int_0^{2 \pi} \sqrt{2} \exp(2t) cos(t) dudt$

kiki · 06. 07. 2008 11:52

↑ thriller:

Ozývám se znova, když by jsem nemohla použít dvojný integrál. Alespoň s tvého podání to tak vypadá, tak nevím.

thriller · 06. 07. 2008 17:25

↑ kiki:

Jestliže nemůžeš v té druhé úloze použít dvojný integrál, tak nevím. Určitě by šlo z parametrického zadání vyjádřit "y" jako funkci "x". Ale nevzpomenu si na žádnej vzorec na výppočet plochy rotačního tělesa. Možná $s = 2 \pi \int_a^b y(x) dx$ ?

jelena · 06. 07. 2008 17:35

↑ thriller:

Zdravim :-) ja si tez nepamatuji, ale tady to rikaji, snad dobre :-)

Tomsus · 06. 07. 2008 19:32

↑ jelena:

ano,ano.. a všimněte si toho, že existuje samostatný vzorec pro parametrické vyjádření.

Matematické Fórum

#1 02. 07. 2008 19:20

objem rotačního tělesa a obsah rotační plochy

#2 03. 07. 2008 12:46 — Editoval thriller (03. 07. 2008 12:48)

Re: objem rotačního tělesa a obsah rotační plochy

#3 06. 07. 2008 11:52

Re: objem rotačního tělesa a obsah rotační plochy

#4 06. 07. 2008 17:25

Re: objem rotačního tělesa a obsah rotační plochy

#5 06. 07. 2008 17:35

Re: objem rotačního tělesa a obsah rotační plochy

#6 06. 07. 2008 19:32

Re: objem rotačního tělesa a obsah rotační plochy

Zápatí