Matematické Fórum

Mihulik

Ahoj,
mám indukcí dokázat následující tvrzení:
$\forall n\in N \exists x,y,z\in N, x\neq y\neq z: x^2 + y^2 + z^2 = 14^n$

Důkaz jsem si rozdělil na dvě části. Nejprve dokážu pro všechna lichá a pak pro všechna sudá n.

Lichá:
1) Oveřím pro n = 1:
$1^2 + 2^2 + 3^2 = 14^1$
2) Předpokládám, že platí pro $n = n_0$ , kde $n_0$ liché. Tzn. $\exists x_0,y_0,z_0\in N: {x_0}^2 + {y_0}^2 + {z_0}^2 = 14^{n_0}$
3) Potřebuji dokázat pro $n = n_0 + 2$ :
$14^{n_0 + 2} = 14^2 * 14^{n_0} = 14^2 * ({x_0}^2 + {y_0}^2 + {z_0}^2) = 14^2 * {x_0}^2 + 14^2 * {y_0}^2 + 14^2 * {z_0}^2 =\\ (14x_0)^2 + (14y_0)^2 + (14z_0)^2 = x^2 + y^2 + z^2$

Sudá:
1) Ověřím pro n = 2:
$4^2 + 6^2 + 12^2 = 14^2$
2) Předpokládám, že platí pro $n = n_0$ , kde $n_0$ sudé. Tzn. $\exists x_0,y_0,z_0\in N: {x_0}^2 + {y_0}^2 + {z_0}^2 = 14^{n_0}$
3) Tento krok je identický s krokem pro lichá čísla.

Tento důkaz je správný, ne?:) Říkám si ovšem, jestli neexistuje nějaké "elegantnější" řešení, kde bych nemusel důkaz rozpadat na dva případy?