Matematické Fórum

cico · 12. 10. 2011 21:24

Ahojte,

Pokúšam sa vyriešiť limity, ktoré som našiel na portáli mojeskola.cz, bez použitia L'Hospitala.
lim x->pi/4 (tg(2x)*tg(pi/4-x)) a lim x->1 ((1-x)*tg((pi*x)/2)). Nie som matematik, tak okrem L'Hospitala
som si nevedel spomenúť na nič použiteľné. Lenže príklady sú v sekcii, kde sa L'Hospital ešte nepreberá.

Ďakujem za pomoc

Rumburak

U takovýchto úloh se snažíme limitovaný výraz převést na zlomek a ten pak vykrátit problémovým činitelem tak, abychom úlohu zjednodušili
(například převedli na limitu funkce v bodě její spojitosti).

V prvé úloze provedeme nejprve substituci $\frac {\pi}{4}-x = t$ a tím dostaneme

$\lim_{x \to \frac {\pi}{4}} \tan(2x) \tan\left(\frac {\pi}{4}-x\right) = \lim_{t \to 0} \tan \left(\frac {\pi}{2}-2t \right) \tan t = \lim_{t \to 0} \frac{\sin\left(\frac {\pi}{2}-2t \right)}{\cos\left(\frac {\pi}{2}-2t \right)} \tan t =\\=\lim_{t \to 0} \frac{\cos 2t}{\sin 2t} \tan t =\lim_{t \to 0} \frac{\cos 2t}{2\sin t \cos t} \cdot\frac {\sin t}{\cos t} =\lim_{t \to 0} \frac{\cos 2t}{2 \cos^2 t}= ...$ .

Někdy se hodí využít známých vzorců

$\lim_{t \to 0} \frac {\tan at}{t} = \lim_{t \to 0} \frac {\sin at}{t} = a$ ,

což se, odhaduji, uplatní v oné druhé úloze.

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2011 21:24

Limita funkcie bez L'Hospitala

#2 13. 10. 2011 14:44 — Editoval Rumburak (13. 10. 2011 14:50)

Re: Limita funkcie bez L'Hospitala

Zápatí