Matematické Fórum

sashqa · 13. 10. 2011 12:40

ahoj priklad s ktorym sa neviem pohnut znie : urcit elementarnu oblast - dvojny integral na mnozine A z
∫∫ √(1-x^2 - y^2) / (1+x^2 + y^2) dx dy

premenila som si to na polarne suradnice urcila hranice a jakobian ale neviem sa dalej pohnut s integralom :

∫(od nula po jedna) ∫(od nula po π/2)√(1-ρ^2 ) / (1+ρ^2 ).ρ.dφ.dρ

pomoze niekto? kratit nemozem, substituciou to len zamotam ... vopred dakujem!

Rumburak · 13. 10. 2011 15:06

Pokud za "elementární oblast" A považujeme otevřený kruh se středem v počátku a poloměrem 1 (vnitřek definičního oboru integrované funkce),
pak by polární souřadnice φ měla probíhat interval [0, 2π) . Integrál pak bude

∫(od nula po jedna) ∫(od nula po 2π)√(1-ρ^2 ) / (1+ρ^2 ).ρ.dφ.dρ = ∫(od nula po jedna) √(1-ρ^2 ) / (1+ρ^2 ).ρ ∫(od nula po 2π).dφ.dρ =

= ∫(od nula po jedna) √(1-ρ^2 ) / (1+ρ^2 ).ρ . 2π. dρ = ... ,

protože ∫(od nula po 2π).dφ = 2π .

Jak dopočítat integrál podle ρ , to už je jiná věc.

sashqa · 13. 10. 2011 21:23

↑ Rumburak:
napisala som to zle cely ten vyraz mal byt pod odmocninou ... integrovat to podla defi neni problem ale podla dero sa uz neviem vobec pohnut ... jakobian co je ro som este dala pod odmocninu, roznasobila a rozdelila na 2 zlomky (oba pod odmocninou) ale to som asi spravila zbytocne ...
a zabudla som napisat ze mnozina A je stvrtkruh ... tzn druhy integral bude od nula po pi pol, nie po 2pi

Rumburak

Ten jacobián (obecně jeho absolutní hodnota) už NEMÁ být pod odmocninou. Podle $\rho$ tedy integrujeme
$\sqrt{\frac{1-\rho^2}{1+\rho^2}}\cdot \rho \cdot \mathrm{d}\rho$ , substitucí $t =\rho^2$ , tj. $\mathrm{d}t = 2\rho \mathrm{d}\rho$ , z toho dostaneme $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-t}{1+t}} \mathrm{d}t$ .

Další cesta (převod na integrál z racionální funkce) už bývá popsána v různých studijních materiálech

Viz též zde .

Hodně zdaru !

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2011 12:40

elementarna oblast a dvojny integral

#2 13. 10. 2011 15:06

Re: elementarna oblast a dvojny integral

#3 13. 10. 2011 21:20 Příspěvek uživatele sashqa byl skryt uživatelem sashqa.

#4 13. 10. 2011 21:23

Re: elementarna oblast a dvojny integral

#5 14. 10. 2011 09:35 — Editoval Rumburak (14. 10. 2011 10:05)

Re: elementarna oblast a dvojny integral

Zápatí